statistika_проц_22

				Окончание табл. 8.2
Критические	б) Граница Z				α , разделяющая критическую область от области
точки	принятия H0				находится как Zα = Φ0−1 (0,5 −α). (когда
	α = 0,05 критическая точка Zα = 1,645; когда α = 0,01
	критическая точка Zα = 2,325)
	в) граница — Zα , разделяющая критическую область от
	области принятия Í 0 находится как — Zα = −Φ0−1 (0,5 −α)
	(когда α = 0,05 критическая точка — Zα = –1,645; когда
	α = 0,01 критическая точка — Zα = –2,325)
Правило	H0 отклоняется:
принятия	à) åñëè		Z íàáë		≥ Z êð;α 2
решения
	á) åñëè Z íàáë				≥ Z êð;ïðàâα
	â) åñëè Z íàáë				≤ −Zêð;ëåâα

8.7. Проверка гипотезы о значении генеральной средней (математического ожидания) нормально распределенной генеральной совокупности при неизвестной генеральной дисперсии

Пусть некоторая генеральная совокупноñть имеет нормальное распределение X → N (X;σ2 ), а параметры X и σ 2 неизвестны (например, в случае малых выборок). Тогда по результатам случайной выборки объема n найдем точечные их оценки x% è S .

Требуется проверить гипотезу H0 : X = a0.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину

%
T =	X − a0	n −1.	(8.5)
	S

Примем без доказательства, что если гипотеза H0 верна, то случайная величина T имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы Kñâ = n – 1.

Критическая область строится в зависимости от вида альтернативных гипотез:

H1 : X ≠ a0

281

H1 : X = a1 > a0 H1 : X = a1 < a0 .

Поскольку это делается так, как описано выше, то сформулируем правила проверки гипотезы H0 â òàáë. 8.3.

Таблица 8.3

Алгоритм проверки гипотезы о численной величине генеральной средней при неизвестной дисперсии

Íóëü-гипотеза

H0 : X

= a0

Альтернативная

à) H

≠ a

1

: X

гипотеза

0

á) H1 : X = a1 > a0

= a1 < a0

â) H1 : X

Уровень

α (часто α = 0,05 èëè α = 0,01 )

значимости для

критерия

Критерий

%

T =

X − a

(предполагается, что σãåí неизвестно).

(критериальная

S

n −1

статистика)

Если объем выборки n достаточно велик, то логично

применить критерий Z

=

X% − a

n , в котором следует

σ

1

% 2

положить σ = S =

xi

− X

n

Критические

Зависят отα. Ýòî:

точки

а) границы ±tдвуст.кр(α;Kñâ =n−1) , разделяющие критические

области от области принятия H0 ; определяются по таблице

приложения 5 критических точек распределения Стьюдента

по заданному уровню значимости α, помещенному в верхней

строке таблицы и числу степеней свободы Kñâ = n −1

б) граница t

ïðàâ

, разделяющая правостороннюю

êð(α;Kñâ )

критическую область от области принятия H0 , определяются

по уровню значимости α, помещенному в нижней строке

таблицы приложения 5 и числу степеней свободы

Kñâ = n −1

Критические

в) граница — têð(α;Kñâ ) , разделяющая левостороннюю

точки

критическую область от области принятия H0 определяется

сначала t ïðàâ

и затем полагается t ëåâ = – t ïðàâ .

êð(α;Kñâ )

êð

êð

282

Окончание табл. 8.3

Правило	H0 отклоняется:
принятия	à) åñëè		tíàáë		≥ tдвуст.кр
решения
	á) åñëè tíàáë				≥ têðïðàâ
	â) åñëè tíàáë				≤ −têðïðàâ

Пример 8.1. Менеджер кредитного отдела нефтяной компании хотел бы выяснить, является ли средне-месячный баланс владельцев кредитных карточек равным $75. Аудитор случайным образом отобрал 100 счетов и нашел, что средне-месяч- ный баланс владельцев составил $83,4 с выборочным стандартным отклонением, равным $23,65. Определим на 5 %-ном уровне значимости, может ли этот аудитор утверждать, что средний баланс отличен от $75.

Решение.

1) Исходя из условия задачи, сформулируем гипотезы:

H0 :

X

= $75

H1 :

≠ $75

X

σãåí — неизвестно.

Уровень значимости α =0,05.

2) Для проверки гипотезы H0 применим критерий

T =

X − a0

n −1

%

S

с двусторонней критической областью

3) Вычислим tíàáë

=

83,4 − 75

100 −1

=

8,4

99 ≈ 3,53

23,65

23,65

4) tдвуст.кр(α=0,05;Kñâ =99) ≈ 2.

5)

1

0

0

0

0

1

−têð

= −2

têð = 2

нулевая гипотеза отклоняется, значит, средне-месячный баланс владельцев отличен от $75.

283

8.8. Проверка гипотезы о числовом значении генеральной доли (о параметре биномиального закона распределения)

Долю элементов генеральной совокупности, обладающих тем или иным качественным1 признаком, обозначим через p (0 ≤ p ≤ 1 ). Âû-

борочной оценкой доли является частость W = m .

n

Проверка гипотезы о числовом значении доли основывается на биноминальном распределении, так как доля представляет собой параметр p в этом распределении. Существует много методов проверки гипотез о знании генеральной доли. Рассмотрим один тип критериев, который можно применять только при достаточно боль-

шом объеме выборки (n ≥ 100). Будем исходить из того, что выборочная оценка доли генеральной совокупности имеет асимптоти-

m

= p

чески нормальный закон распределения с параметрами

M

m

pq

pq

n

=

è σ

, ò.å. W → N p;

. Пусть генеральная доля p рав-

n

n

n

на некоторому гипотетическому числу p0. Следовательно, при боль-

шом n распределение

Z =

W − p0

→ N (0;12 )

(8.6)

pq

n

Эту величину (8.6) и используют в качестве критерия при проверке гипотезы H0 : p = p0 .

Таблица 8.4

Алгоритм построения критических областей при проверке гипотезы о числовом значении генеральной доли

Íóëü-гипотеза	H0 :	p = p0
Альтернативная	à) H1	: p ≠ p0
гипотеза	á) H1	: p = p1 > p0
	â) H1 : p = p1 < p0

1Например, можно определить: долю (или процент) экономистов г. Ростова, знающих два иностранных языка; долю или процент студентов РГЭУ, регулярно посещающих кафе, которое находится в этом же здании и т. д.

284

Окончание табл. 8.4

Уровень	α (часто α = 0,05 èëè α = 0,01 )
значимости для
критерия
Критерий			m			− p0
(критериальная
	Z =		n
статистика)
					p0q0
							n
Критические	Зависят от α. Ýòî:
точки	а) границы ±Zα 2 , разделяющие критические области от области
	принятия H0										(когда α = 0,05 , критические точки ±1,96 ;
	когдаα = 0,01 , критические точки ±2,575; для других
	значений α критические точки могут быть получены из таблицы
	стандартного нормального распределения — приложение 2)
	б) Граница Zα , разделяющая критическую область от области
	принятия H0										(когда α = 0,05 критическая точка
	Zα	= Φ0−1 (0,5 −α)= 1,645; когда α = 0,01 критическая точка
	Zα	= Φ0−1 (0,5 −α)= 2,325)
	в) граница — Zα , разделяющая критическую область от области
	принятия H0 (когда α = 0,05 критическая точка — Zα = –1,645;
	когда α = 0,01 критическая точка — Zα = –2,325)
Правило	H0 отклоняется:
принятия	à) åñëè						Z íàáë				≥ Zêð;α 2
решения
	á) åñëè Z íàáë										≥ Zêð;ïðàâα
	â) åñëè Z íàáë										≤ −Zêð;ëåâα

Пример. 8.2. Директор большой страховой компании интересуется текучестью кадров (страховых агентов) в первый год работы. Данные отдела фирмы за ряд лет показали, что 25 % страховых агентов среди вновь поступивших, увольняются, не проработав и года. Для поступивших 150 страховых аген-

тов был проведен интенсивный тренинг. В конце года из этих 150 работников уволилось 29 человек. Можно ли считать, что процент уволившихся сотрудников, прошедших тренинг, меньше 25 %.

Уровень значимости принять равным α = 0,01.

285

Решение

1) Согласно условию, нам необходимо проверить нулевую гипотезу H0 : p = 0,25 против альтернативной гипотезы,

H1 : p <0,25 (òàê êàê 15029 ≈ 0,19 < 0,25 ).

2) Для проверки данной нулевой гипотезы применим Z-крите- рий с левосторонней критической областью:

m − p0 Z = n

p0q0

n

3) Вычислим наблюдаемое значение критерия

Z	=	0,19 − 0,25			=	−0,06	= −1,6997 ≈ −1,7.
íàáë			0,25 0,75	0,0353
			150

4)По таблице приложения 1 по заданному уровню значимости

α=0,01 найдем критическое значение

Zêðëåâ= −Φ0−1 (0,5 − 0,01) = −Φ0−1 (0,49) = −2,33. 5)

	01	00			Zíàáë = −1,7 > Z êðëåâ = −2,33
					Нет оснований отклонить
Zêðëåâ	= −2,33
		Zíàáë =	−	1,7	нулевую гипотезу.

Мы не можем подтвердить, что доля уволившихся страховых агентов меньше, чем 0,25.

8.9. Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии генеральной совокупности

Пусть из генеральной совокупности, значения признака которой распределены по нормальному закону с неизвестной дисперсией

σ 2 (ò.å. X → N (a;σ2 ) , извлечена выборка объема n: x1, x2, ..., xn и вычислена исправленная выборочная дисперсия S2. Требуется на

уровне значимости a проверить гипотезу H0 : σ2 = σ02, так как например, есть основания из предшествующего опыта предполагать, что σ 2 равна гипотетическому (предполагаемому) значению σ02 .

286

Òàê êàê S2 является несмещенной оценкой генеральной дисперсии σ 2 , то нулевую гипотезу H0 можно записать и так:

H0 : M(S2 ) = σ02 .

Для проверки нулевой гипотезы используют выборочную харак-

nS2

теристику σ02 . Можно доказать, что при выполнении нулевой

гипотезы H0 она имеет распределение χ2 с n – 1 степенями свободы. Итак критерий проверки нулевой гипотезы H0 : σ 2 = σ02

χ	2	=	(n −1)S2		χ	2	(Kñâ	= n −1).	(8.7)
			σ	2
					H0

Критическая область строится в зависимости от вида альтерна-

тивной гипотезы H1.

а) Пусть H1 : σ2 ≠ σ02.

В этом случае строят двустороннюю критическую область, оп-
ределяя критические точки из условий: P (χ2 ≤ χ12êð ) = α 2
События (χ2 ≤ χ121êð)			P(χ2 ≥ χ22êð) = α 2.
			è (χ2 > χ1êð2 ) — противоположны и поэтому
P (χ2	≤ χ2	) + P (χ2	> χ12êð ) = 1, ò.å.
P (χ2	1êð	) = 1 − P (χ2 ≤ χ2 ) = 1 − α 2.
	> χ2
	1êð		1êð

Так как в таблице критических точек приложения 2 распределения χ2 указаны лишь «правые» критические точки, то χ1êð2 ìîæ-

	но искать как правую, т.е.		è χ	2
	χ	2				.
				2êð(1	–−α/2;KK =n−–1)
		11êð(1−–αα2;/2;KKñâñâ==nn1)−–1)
					ñâ

f (χ2 )

α / 2	α / 2
χ1êð2 = χ12−α / 2	χ2êð2 = χα2 / 2	χ2

Рис. 8.4. Двусторонняя критическая область распределения χ2

287

Как видно из рис. 8.4, гипотеза H0 : σ2 = σ02 не отклоняется, если χ11êð2 < χíàáë2 < χ2ê2 ð и отклоняется, если χíà2 áë ≤ χ1ê2 ð èëè χí2àáë ≥ χ2êð2êð .

б) Пусть H1 : σ2 = σ12	> σ02 . Тогда мы имеем правостороннюю кри-
тическую область P (χ2	≥ χêð2	;α;Kñâ ) = α.

f (χ2 )

	α
χ	χ2
	êð(12 −α 2;Kñâ =n−1)

Рис. 8.5. Правосторонняя критическая область для проверки гипотезы H0 : σ2 = σ02

В этом случае критическую точку находят по таблице приложения 2.

Åñëè χí2àáë < χêð2 , то нет оснований отклонить H0, à åñëè χíàáë2 ≥ χêð2 , то нулевую гипотезу H0 отклоняют.

â) H1 : σ2 < σ02 . В этом случае имеем левостороннюю критиче- скую область.

f (χ2 )

α

χ2

χêð2

Рис. 8.6. Левосторонняя критическая область проверки гипотезы H0 : σ2 = σ02

288

Òàê êàê PH

(χ2

>

χ2

)

= 1 − P (χ2

≤

χ2 ) = 1 −α,

то левосторонняя

точка χ2

0

êð

êð

находится по таблице приложения 2.

êð(1−α;Kñâ=n−1)

Таблица 8.5

Алгоритм построения критических областей

при проверке гипотезы о числовом значении дисперсии

Íóëü-гипотеза

H0 : σ2 = σ02

Альтернативная

à) H1 : σ

2

2

гипотеза

≠ σ0

á) H1

: σ2

> σ02

â) H1

: σ2

< σ02

Уровень

α (часто α = 0,05

èëè α = 0,01 )

значимости

для критерия

Критерий

χ2

= (n −1)S

2

(критериальная

σ02

статистика)

Замечание: если найдена выборочная дисперсия σâûá2

, òî â

качестве критерия принимают χ

2

=

nσâûá2

или находят

σ02

S 2

=

n −1

σâûá2

n

Критические

Зависят отα . Ýòî:

точки

а) границы

χ1êð;12 −α 2

è χ2êð;12 −α 2 , разделяющие критические

области от области принятия Н0 определяются по таблице

приложения 2

(когдаα =

0,05 , òî

χ2

(

ñâ

)

è χ2

ñâ

)

;

(

=n

1êð 1−α 2=0,975;K

=n−1

2êð α 2=0,025;K

−1

когдаα = 0,01 , òî χ2

(

2=0,95;K

ñâ

)

è χ2

(

ñâ

)

.

1êð

1−α

=n−1

2êð α 2=0,005;K

=n−1

б) Граница

χ2

ñâ

)

,

(

êð α;K

=n−1

(когда α = 0,05

òî χêð2

(0,05;Kñâ =n−1)

;

когда α = 0,01 , òî χêð2

(0,01;Kñâ =n−1)

в) граница — χêð2

(1−α;Kñâ =n−1) ,

(когда α = 0,05

, òî χêð2

(0,95;Kñâ =n−1) ;

когда α = 0,01 χêð2

(0,99;Kñâ =n−1) )

289

										Окончание табл. 8.5
	Замечание: если Kñâ > 30 , то критическую точку можно
	найти приближенно по равенству Уилсона-Гилферти
		2			2			2		3
	χ	êð(α;Kñâ ) = K 1 −					+ Zα			, ãäå Zα = Φ0−1 (0,5 −α)
					9K			9K
	находится по таблице приложения 1
Правило	H0 отклоняется, если:
принятия	à)	χíàáë2	≤ χ1êð2 èëè χíàáë2				≥ χ2êð2
решения
	á)	χíàáë2	≥ χêð(2 α;Kñâ =−1)
	â)	χíàáë2	≤ χêð(12	−α;Kñâ =−1)

Пример 8.3. Менеджер банка решил внедрить единую систему обслуживания клиентов в порядке их входа в операционный зал и по мере освобождения операционистов. Хотя такая политика и не меняет среднее время ожидания для клиентов банка, менеджер отдает ей предпочтение, так как считает, что она уменьшает вариацию времени ожидания. Оппоненты менеджера приводят доводы, что эта вариабельность будет по крайней мере больше, чем при прежней системе, когда клиент сам выбирал операциониста и становился к нему в

одну из многих очередей. По опыту прошлых лет известно, что стандартное отклонение составляет σ = 6 мин на клиента. С целью установления истины руководство банка решило проверить статистически, кто прав: менеджер или оппоненты. Проверка основывалась на случайной выборке 20 клиентов, на которых проверялась новая система обслуживания и которая показала, что стандартное отклонение равно 4 мин на человека. Какой вывод сделали бы вы на 5 %-м уровне значимости?

Решение

1) Сформулируем две гипотезы: H0 : σ2 ≥ 36

H1 : σ2 < 36. имеем левостороннюю критическую область.

2) Очевидно, что для проверки нулевой гипотезы H0, банковский статистик предложил следующий критерий:

290