statistika_проц_22

(или выручка от продажи) в отчетном периоде, если бы цены оставались на уровне базисного периода.

Зарождение индексного метода связано с исчислением именно индекса цен. Так, в 1874 году немецкий ученый (статистик и экономист) Герман Пааше предложил индекс цен с отчетными (текущими) весами. Рассмотренный выше индекс цен (формула 10.17) так и называется «индекс Пааше».

Формулу агрегатного индекса цен с базисными весами, предложил немецкий ученый Этьен Ласпейрес на 10 лет раньше, т.е. в 1864 году:

	I		=	∑ p1q0	.
		p		∑ p0q0		(10.18)

Аналогично индексам цен строятся и другие общие индексы по методу Пааше и Ласпейреса (индексы физического объема продукции, себестоимости, трудоемкости и др.).

Индексы цен Пааше и Ласпейреса широко используются на практике, но дают они разные результаты. Как правило, индекс Ласпейреса по своему значению всегда больше индекса Пааше. Вот такое систематическое опережение индексом Ласпейреса индекса Пааше известно в статистике как эффект Гершенкрона, по имени американского ученого, который один из первых описал этот феномен.

В начале XX в. американский экономист Ирвинг Фишер предложил вместо формул индексов цен Пааше и Ласпейреса использовать среднюю геометрическую из этих индексов:

	I		=	∑ p1q1		∑ p1q0	.
		p		∑ p0q1		∑ p0q0		(10.19)

Этот индекс Фишер назвал «идеальным», так как в нем не отдается предпочтение ни продукции базисного периода, ни продукции отчетного периода, поэтому можно получать результаты, свободные от влияния разных формул и статистических весов. Широкого практического применения эта формула не получила из-за ее весьма слабого экономического обоснования. Каждый индекс в формуле Фишера, т.е. индекс цен и Пааше, и Ласпейреса, имеет свой экономический смысл, свое строго определенное и конкретное экономическое содержание. А вот после извлечения квадратного корня из их произведения можно получать всего лишь некую усредненную оценку. Трудность получения даже такой оценки связана с

371

тем, что не всегда удается собрать необходимые реальные данные для проведения расчетов по этой формуле.

Выше мы рассмотрели формулы агрегатных индексов физического объема продукции и цен. Аналогично строятся агрегатные ин-

	дексы для некоторых других показателей.
	I		=	∑ z1q1
		z		∑ z q		— индекс себестоимости;	(10.20)
				0	1
	Iυ =			∑ t0q1
				∑ t1q1		— индекс производительности труда;	(10.21)
	I		=	∑ t1q1
		t		∑ t q		— индекс трудоемкости.	(10.22)
				0	1

К агрегатным индексам относятся также индексы выполнения плана. Особенность этих индексов в том, что фактические данные сопоставляются не с базисными, а с плановыми. Весами индексируемых показателей могут выступать как плановые, так и фактические по-

казатели. Можно привести следующие индексы себестоимости:
Iz( ) =		∑ z1qïë.
		∑ z q		— индекс себестоимости с плановыми весами; (10.23)
(ïë.)			ïë.
	0
Iz((ô).) =	∑ z1q
			ô.
	∑ z q			— индекс себестоимости с фактическими весами. (10.24)
			ô.
	0

Агрегатная форма индексов позволяет определять величину не только относительного, но и абсолютного изменения показателей. Так, например, чтобы рассчитать общую абсолютную экономию (перерасход) денежных средств, которую имеет население в связи с изменением цен, необходимо из числителя агрегатного индекса вычесть знаменатель.

Обратимся к агрегатному индексу цен (формула 10.17):

	I		=	∑ p1q1	.
		p		∑ p0q1

Допустим, мы вычислили сводный индекс цен и получили следующий результат (числитель и знаменатель — в млн руб.):

Ip = 280,0 = 1,0370 èëè 103,7 %. 270,0

Индекс цен в данном случае показывает, что в отчетном периоде по сравнению с базисным цены в среднем возросли на 3,7 %. Что же означает это повышение в процентах? Что за этим скрывается?

372

Если рассматривать числитель и знаменатель этого индекса с точки зрения покупателей, то числитель — это сумма денежных средств, которая фактически уплачена покупателями за товары, приобретенные в текущем (отчетном) периоде, а в знаменателе представлена та сумма, которую покупатели затратили бы на покупку тех же товаров, что и в отчетном периоде, если бы цены остались на уровне прошлого, т.е. базисного периода.

Разность числителя и знаменателя представляет собой величину экономии («–») или перерасхода («+») денежных средств, которую имеет население (покупатели) от изменения цен:

∆P = ∑p1q1 − ∑p0q1.

(10.25)

∆Ρ = 280,0 — 270,0 = +10,0 ìëí ðóá.

Аналогично рассчитываются изменения тех или иных показателей (количества продукции, себестоимости, трудоемкости, урожайности и т.д.) в абсолютном выражении во всех индексах: числитель минус знаменатель.

В агрегатном индексе различают индексируемый, т.е. изменяющийся показатель, и соизмеритель или вес (показатель одинаковый в числителе и знаменателе). С помощью соизмерителя или веса непосредственно несоизмеримые элементы приводятся к соизмеримому виду.

При исчислении сводных индексов важную роль играет проблема взвешивания.

Перегудов Н.В. в известной монографии «Теоретические вопросы индексного анализа» отмечал: «Проблема взвешивания является основной теоретической проблемой индексного метода, возникшей с зарождения самого метода и ... остающейся актуальной и до настоящего времени».

При рассмотрении проблемы соизмерения индексируемых величин возникает два вопроса:

1.Какой показатель, качественный или количественный, следует взять в роли соизмерителя или веса?

2.На уровне какого периода, отчетного или базисного, должен быть взят соизмеритель или вес?

На эти вопросы можно ответить следующим образом:

Если индексируемой величиной является количественный (объемный) показатель, то в роли соизмерителя берутся качественные показатели (цена, себестоимость, трудоемкость, урожайность и т.д.)

373

на уровне базисного периода. Примером являются сводные индексы физического объема продукции с различными соизмерителями. Один из этих индексов мы уже рассматривали (формула 10.16):

I = ∑q1p0 . q ∑q0p0

Приведем формулы еще двух индексов физического объема продукции:

		∑q1z0
Iq	= ∑q0z0 .
Iq	=	∑q1t0
			.
		∑q0t0

(10.26)

(10.27)

Если индексируемой величиной является качественный показатель, то в роли веса выступают количественные показатели, которые берутся на уровне только отчетного периода. Примером таких индексов являются, рассмотренные нами ранее, индексы:

Ip	=			∑p1q1
				∑p0q1
Iz	=		∑z1q1
			∑z0q1
It	=		∑t1q1
		∑t0q1

—индекс цен;

—индекс себестоимости:

—индекс трудоемкости и т.д.

Методику расчета некоторых общих агрегатных индексов рассмотрим на следующем примере.

Пример 10.2. Допустим, имеются данные о реализации товаров какой-либо фирмы за два периода.

	1 квартал		2 квартал
Товары	Продано,	Öåíà 1 êã.,	Продано,	Öåíà 1 êã.,
	òûñ. êã.	ðóá.	òûñ. êã.	ðóá.
À	42,0	40	40,0	50
Á	30,0	30	20,0	40
	q0	p0	q1	p1

374

1.Определить общие агрегатные индексы: а) цен по формулам Пааше и Ласпейреса;

б) физического объема товарооборота (в сопоставимых ценах); в) товарооборота (в фактических ценах).

2.Рассчитать абсолютное изменение общей суммы товарооборота за счет изменения цен и количества реализованных товаров.

3.Показать взаимосвязь между исчисленными индексами.

Решение

1. а) Агрегатный индекс цен Пааше исчисляется по формуле:

	Ip =	∑ p1q1	;	Ip =	50 40,0	+ 40	20,0	=	2800,0	= 1,2727, èëè 127,3 %.
		∑ p0q1
					40 40,0 + 30		20,0		2200,0

Агрегатный индекс цен Ласпейреса исчисляется по формуле:

	Ip =	∑ p1q0	;	Ip =	50 42,0	+ 40	30,0	=	3300,0	= 1,2790, èëè 127,9 %.
		∑ p0q0
					40 42,0 + 30		30,0		2580,0

По формуле Пааше цены на реализованные фирмой товары во 2-м квартале по сравнению с 1-ым выросли в среднем на 27,3 % (127,3 – 100,0), а по формуле Ласпейреса — на 27,9 % (127,9 – 100,0). Индекс Паше показывает влияние изменения цен на стоимость товаров, реализованных в отчетном периоде, а индекс Ласпейреса — на стоимость товаров реализованных в базисном периоде.

б) Агрегатный индекс физического объема товарооборота (коли- чества проданных товаров) в сопоставимых ценах исчисляется по формуле:

	Iq =	∑ q1p0	; Iq	=	40,0 40	+ 20,0	30	=	2200,0	= 0,8527,	èëè 85,3 %.
		∑ q0p0
					42,0 40 + 30,0		30		2580,0

Количество проданных товаров во 2-м квартале по сравнению с 1-м снизилось на 14,7 % (85,3 – 100,0).

в) Агрегатный индекс товарооборота (в фактических ценах) можно вычислить по формуле:

	Ipq =	∑ p1q1	; Ipq	=	50 40,0	+ 40	20,0	=	2800,0	= 1,0852, èëè 108,5 %.
		∑ p0q0
					40 42,0 + 30		30,0		2580,0

Товарооборот (выручка от продажи) в отчетном периоде по сравнению с базисным, т.е. во 2-м квартале по сравнению с 1-ым, возрастает на 8,5 % (108,5 –100,0).

375

2. Абсолютное изменение общей суммы товарооборота исчисляется как разность между числителем и знаменателем агрегатного индекса товарооборота:

∆pq = ∑p1q1 − ∑p0q0 = 2800,0 – 2580,0 = + 220,0 òûñ. ðóá.

Прирост товарооборота обусловлен влиянием цен и количества реализованных товаров.

Прирост товарооборота за счет изменения цен по индексу Пааше составил:

∆p = ∑ p1q1 − ∑ p0q0 = 2800,0 – 2200,0 = + 600,0 òûñ. ðóá.

За счет изменения количества проданных товаров произошло снижение товарооборота:

∆q = ∑ q1p0 − ∑ q0p0 = 2200,0 – 2580,0 = – 380,0 òûñ. ðóá.

Общее изменение товарооборота равно сумме приростов (снижения) за счет изменения цен и за счет изменения количества продаж. Итак, общий абсолютный прирост товарооборота (∆pq) представлен в данном случае индексной аддитивной моделью (аддитивный — получаемый путем сложения: ∆pq = ∆p + ∆q).

Сделаем проверку исчисленных показателей. Результат (∆pq) должен быть равен 220,0 тыс. руб.: ∆pq = +600,0 + (–380,0) = +220,0 тыс. руб. Следовательно, увеличение товарооборота на 220,0 тыс. руб. произошло за счет роста цен на 600,0 тыс. руб. и за счет сокращения количества реализованных товаров на 380,0 тыс. руб.

3. Между исчисленными индексами существует определенная взаимосвязь, которая может быть представлена индексной мультипликативной моделью.

Индекс представляет собой мультипликативную модель, если он может быть рассчитан в виде произведения двух, как в нашем примере, или нескольких определяющих его индексов:

Ipq = Ip Iq ; Ipq =1,2727 · 0,8527 = 1,0852 èëè 108,5 %.

Следует заметить, что если индекс цен рассматривается в системе с индексом физического объема и индексом товарооборота, то он должен вычисляться по формуле Пааше.

Любой недостающий индекс можно определить, пользуясь формулой взаимосвязи индексов.

376

Это можно подтвердить следующими расчетами. Определяем индекс цен:

Ip = Ipq ; Ip = 1,0852 = 1,2727 , èëè 127,3 %. Iq 0,8527

Определяем индекс физического объема товарооборота:

Iq = Ipq ; Iq = 1,0852 = 0,8527 , èëè 85,3 %. Ip 1,2727

10.3. Средний арифметический и средний гармонический индексы, тождественные агрегатному

Агрегатная форма индекса является основной определяющей формой. Но не всегда можно воспользоваться именно этой формой индекса. Например, если нет данных о количестве проданных товаров, то индекс физического объема по агрегатной формуле исчислить нельзя. Но его можно построить в форме средней величины из соответствующих индивидуальных индексов.

Рассмотрим преобразование агрегатного индекса в средний арифметический на примере индекса физического объема продукции:

	I	=	∑ q1p0	.
			∑ q0p0
	q

Это индекс Ласпейреса, так как сооизмерители взяты на уровне базисного периода. Знаменатель этого индекса обычно известен. Индексируемый показатель в числителе индекса (q1) можно заменить через соответствующий индивидуальный индекс (iq).

Индивидуальный индекс количества продукции исчисляется по

формуле: iq = q1 . Из формулы этого индекса находим: q1 = iqq0. Ïîä- q0

ставив в числитель агрегатного индекса вместо q1 выражение iqq0 , получим:

Iq	=	∑ iqq0p0 .	(10.28)
		∑ q0p0

Таким образом, мы получили средний арифметический индекс физического объема продукции. Если iq обозначить через х, а q0 p0 через f, то получим формулу средней арифметической взвешенной:

x = ∑ xf .

∑ f

377

Вот почему преобразованный индекс называется средним арифметическим взвешенным индексом.

Еще один индекс, агрегатный индекс производительности труда, преобразуем в арифметическую форму:

I= ∑t0q1 .

υ∑t1q1

Воспользуемся для преобразования индивидуальным индексом производительности труда, который рассчитывается через трудо-

емкость единицы продукции,	i	=	t0	,	отсюда,	t	= i t .
	υ		t1			0	υ 1

найденное выражение в числитель индекса вместо t0:
I	υ	=	∑iυt1q1	.
			∑t1q1

Подставим

(10.29)

Это и есть средний арифметический взвешенный индекс производительности труда. Не трудно заметить, что в преобразованных индексах знаменатель остается неизменным и слагаемое знаменателя появляется в числителе. Следовательно, можно утверждать, что

средний арифметический индекс будет тождествен агрегатному, т.е. будет давать тот же количественный результат в том случае, если весами индивидуальных индексов являются слагаемые знаменателя агрегатного индекса.

Рассмотрим расчет разобранной формы индекса на конкретном примере.

Пример 10.3. Имеются следующие данные о реализации спортивных товаров в супермаркетах города:

		Продано	Изменение количества реализованных
	Товары	во 2 квартале,
			товаров в 3 квартале по сравнению со 2, %
		ìëí ðóá.
1.	Тренажеры	190,0	+5,0
2.	Снегоходы	35,0	+ 1,5
3.	Горные лыжи	20,0	–2,0
		q0 p0	iq — ?

Определить изменение количества реализованных спорттоваров в 3-м квартале по сравнению со 2-м, т.е. рассчитать общий (свод-

378

ный) индекс физического объема реализованных спорттоваров (физического объема товарооборота).

Решение

Общий индекс физического объема товарооборота можно рас- считать по формуле:

	I	=	∑ iqq0p0	.
			∑ q0p0
	q

Но предварительно необходимо рассчитать индивидуальные индексы количества реализованных товаров:

1.Тренажеры: iq = 100,0 + 5,0 = 105,0 % èëè 1,05.

2.Снегоходы: iq = 100,0 + 1,5 = 101,5 % èëè 1,015.

3.Горные лыжи: iq = 100,0 – 2,0 = 98 % или 0,98. Подставляем в формулу численные значения:

Iq	=	1,05 190,0 +1,015 35,0 + 0,98 20,0	=	254,6	= 1,039	èëè 103,9 %.
	190,0 + 35,0 + 20,0		245,0

Абсолютное изменение товарооборота за счет влияния количе- ства реализованных спорттоваров:

∆q = ∑iqq0p0 − ∑q0p0 = 254,6 – 245,0 = 9,6 (ìëí ðóá.).

Вывод: В 3-м квартале по сравнению со 2-м продано спорттоваров больше в среднем на 3,9 % (103,9 – 100,0), в связи с этим увеличивается товарооборот (выручка от продажи) на 9,6 млн руб.

Агрегатный индекс качественных показателей можно преобразовать в гармоническую форму индекса. Для преобразования воспользуемся агрегатным индексом цен (индекс Пааше):

	Ip =	∑ p1q1	.
		∑ p0q1

В этом индексе числитель — величина известная, в знаменате-

ле р можно заменить через индивидуальный индекс цен: ip =										p1	.
0										p0
Èòàê, p	= i p	→ p =	p1	=	1	p .	Подставляем в знаменатель индекса
1	p 0	0	ip		1
					ip
								1	p .
вместо p0 равное ему выражение
								ip	1

379

Получаем следующую формулу индекса цен:

I		=	∑p1q1			.
	p		∑	1	p1q1		(10.30)
				i
				p

Этот индекс является средним гармоническим взвешенным индексом цен, так как ip можно обозначить через х, а p1q1 — через М, получим формулу средней гармонической взвешенной:

x= ∑M .

∑x1 M

Аналогично, путем простых подстановок, можно получить средний гармонический индекс себестоимости:

I		=	∑z1q1			.
	z		∑	1	z1q1		(10.31)
				i
				z

и средний гармонический индекс трудоемкости:

I		=	∑t1q1			.
	t		∑	1	t1q1		(10.32)
				i
				t

В преобразованных индексах теперь уже числитель остается неизменным и слагаемое числителя появляется в знаменателе. Таким образом, средний гармонический индекс будет тождествен агрегатному в том случае, если весами обратных значений индивидуальных индексов будут взяты слагаемые числителя агрегатного индекса.

Методику расчета этой формы индекса рассмотрим на следующем примере.

Пример 10.4. Имеются данные о реализации товаров торговыми фирмами в октябре месяце:

	Товары	Продано в октябре м-öå,	Изменение цен
		ìëí ðóá.	с 1 октября, %
	1.Спортивные сумки	25,0	–1,8
	2. Спортивная обувь	37,5	+2,2
		p1q1	ip − ?

380