statistika_проц_22

Неизвестное значение z найдем из соотношения 2Ф0(z) = ã:

2Ô0(z) = 0,95;

Ô0(z) = 0,95 / 2 = 0,475;

По таблице функции Лапласа (приложение 1) найдем, при каком z Ф0(z) = 0,475.

Ô0(1,96) = 0,475. Следовательно, z = 1,96.

Рассчитаем необходимую численность выборки:

n = 1,962 2,72 = 112,02. 0,52

Так как n — целое число, а также, учитывая необходимость не превысить заданную ошибку, округлим полученный результат до большего целого.

Следовательно, необходимо обследовать не менее 113 служащих. Ответ. Чтобы с вероятностью 0,95 и ∆x= 0,5 года с помощью собственно-случайного повторного отбора определить средний стаж работы в фирме, необходимо обследовать не менее 113 служащих.

á) Äàíî: ∆w = 0,05; w = 0,3; ã = 0,9.

По условию требуется найти необходимую численность выборки для доли для собственно-случайного повторного отбора.

Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для доли для собственно-случайного повторного отбора:

n = z2w(1 − w) .

∆w2

Найдем z из соотношения 2Ф0(z) = ã:

2Ô0(z) = 0,9;

Ô0(z) = 0,9 / 2 = 0,45.

По таблице функции Лапласа (приложение 1) найдем при ка-

êîì z Ô0(z) = 0,45. Ô0(1,64) = 0,45.

Следовательно, z = 1,64.

Рассчитаем необходимую численность выборки:

n = 1,642 0,3 (1 − 0,3) = 225,93. 0,052

241

Так как n — целое число, а также, учитывая необходимость не превысить заданную ошибку, округлим полученный результат до большего целого.

Следовательно, n ≈ 226.

Ответ. Чтобы с вероятностью 0,9 и ошибкой ∆w = 0,05 с помощью собственно-случайного повторного отбора определить долю женщин во всем коллективе фирмы, необходимо обследовать не менее 226 служащих.

7.4. Механический (систематический) отбор

Механический отбор — это отбор из списка через одинаковый интервал. Он заключается в том, что составляется список единиц генеральной совокупности и в зависимости от числа отбираемых единиц устанавливается шаг (интервал) отбора единиц совокупности. Например, в простейшем случае, при 10 %-м отборе, отбирается каждая десятая единица, т. е. если первой отобрана единица ¹ 1, то следующими отбираются 11-я, 21-я и т.д. В случае если порядковые номера единиц совокупности в списке никак не связаны с изучаемым признаком, то начало отбора не имеет значения, его можно начать с любой единицы из первого интервала. В противном случае за начало отбора должна быть принята середина интервала (шага отбора) во избежание систематической ошибки выборки.

При достаточно большой совокупности этот способ отбора близок к собственно-случайному, при условии, что применяемый список не составлен таким образом, чтобы какие-то единицы совокупности имели больше шансов попасть в выборку.

Механический способ отбора используется тогда, когда мы хотим исследовать сравнительно большую совокупность, каждый член которой занесен в единый список, такой, как, например, телефонная книга, список зарегистрированных избирателей и т.п.

Расчет предельной и стандартной ошибок выборки, а также необходимой численности выборки при механическом способе отбора осуществляется по тем же формулам, что и при собственно-слу- чайном отборе. Это приводит к некоторому завышению величины ошибок, но зато повышает надежность оценок.

242

7.5. Серийный (гнездовой) отбор

При серийной (гнездовой) выборке генеральная совокупность разбивается на группы («гнезда»), внутри которых содержатся разнородные единицы наблюдения. Выделенные группы должны быть максимально похожи друг на друга, тогда как единицы совокупности внутри групп — максимально друг от друга отличаться (группы должны быть максимально однородными «снаружи» и максимально разнородными — «внутри»). В качестве таких «гнезд» могут выступать предприятия, семьи, коллективы, партии деталей и т.п. Затем путем случайного или механического отбора выделяют определенную часть этих серий и внутри серий обследуют все единицы совокупности. По сути дела, серийный отбор представляет собой случайный или механический отбор, осуществленный для укрупненных элементов исходной совокупности.

Используя серийный отбор, исследователь должен руководствоваться двумя основными положениями:

1)все единицы генеральной совокупности должны быть распределены между «гнездами»;

2)основные характеристики «гнезд» должны быть максимально идентичными по заданным параметрам.

Классический пример серийного отбора — контроль качества кирпичей. Партии кирпичей максимально похожи друг на друга: они содержат одинаковое количество кирпичей, причем, в каждой партии есть качественно разнородные кирпичи (условно говоря, — хорошие, перепеченные, недопеченные). В этой ситуации можно производить отбор партий (серий) кирпичей, а внутри партии — обследовать все кирпичи.

Серийный (гнездовой) отбор даст меньшую ошибку оценки параметров генеральной совокупности, чем собственно-случайный, так как случайную колеблемость будет определять только часть общей дисперсии — межгрупповая (межсерийная).

Величина стандартной ошибки средней арифметической при серийном повторном отборе может быть определена по формуле:

µx	= δx2	,	(7.44)
	r

ãäå δx2 — межсерийная дисперсия признака; r — число отобранных серий.

243

При бесповторном оборе с каждой отобранной серией вероятность отбора оставшихся серий повышается, при этом средняя ошибка выборочной средней уменьшается по сравнению с повторным отбором и имеет для серийного бесповторного отбора равновеликих серий следующий вид:

µx =	δ2	R − r			,
	x					(7.45)
	r
		R − 1

где R — число серий в генеральной совокупности.

При достаточно большом числе серий в генеральной совокупности R можно воспользоваться формулой

µx	=	δ 2		1 −		r
		x						.	(7.46)
					R
		r
Межсерийная дисперсия признака δx2									вычисляется следующим
образом:
		r				2
			%	%
		∑ (xj		− x)					(7.47)
2	=	j=1
δx								,
			r

ãäå x%j — средняя арифметическая в j-й серии;

x% — общая средняя арифметическая в выборочной совокупности. Величина стандартной ошибки доли при серийной повторной

выборке может быть определена по формуле:

µw	= δw2	,	(7.48)
	r

ãäå δw2 — межсерийная дисперсия выборочной доли.

Величина стандартной ошибки доли при серийной бесповторной выборке может быть определена по формуле:

µw =	δ2	−	r	(7.49)
	w 1		.
	r		R

Межсерийная дисперсия доли δw2 в формулах расчета средних ошибок выборочной доли в табл. 7.4 рассчитывается следующим образом:

244

		r
		∑(wj	−		)2
				w			(7.50)
2	=	j=1
δw						,
		r

ãäå wj — выборочная доля в j-й серии;

w — средняя величина доли во всех сериях.

Таблица 7.3

Формулы расчета стандартной (средней) ошибки выборки для серийного отбора равновеликих серий

µ

Серийный отбор

Серийный отбор

равновеликих серий

равновеликих серий

повторный отбор

бесповторный отбор

δ

2

µx

=

δ 2

−

r

Для средней

µx

=

x

x

1

r

r

R

Äëÿ

δw2

µw

=

δw2

−

r

äîëè

µw

=

r

r

1

R

Формулы расчета необходимой численности выборки для серийного отбора можно получить из формул предельной ошибки.

Таблица 7.4

Формулы расчета необходимой численности выборки для серийного отбора равновеликих серий

	Серийный отбор				Серийный отбор равно
n	равновеликих серий				великих серий бесповторный
	повторный отбор							отбор
Äëÿ	r	=	z2δx2		r	=		z2δx2R
средней	x		∆2x		x			∆2x (R −1) + z2δx2
Äëÿ	r	=	z2δw2		r	=		z2δw2R
äîëè	w		∆w2		w			∆w2 (R −1) + z2δw2

ãäå rx, rw — число отобранных серий соответственно для определения ошибок выборочной средней и выборочной доли;

∆x , ∆w — предельные ошибки соответственно выборочной средней и выборочной доли.

245

Пример 7.3. В одном из цехов предприятия в десяти бригадах работает 100 рабочих. В целях изучения квалификации рабо- чих была проведена 20 %-я серийная бесповторная выборка, в которую вошли 2 бригады. Получено следующее распределение обследованных рабочих по разрядам:

Номер	Тарифные разряды рабочих
рабочего	в бригаде 1	в бригаде 2
1	2	4
2	4	7
3	4	2
4	2	6
5	4	4
6	5	5
7	4	3
8	7	1
9	3	3
10	4	2

Определить с вероятностью 0,9 границы доверительного интервала среднего тарифного разряда рабочих цеха.

Решение

По условию выборочное обследование проведено с помощью серийного бесповторного отбора.

Объем выборки r = 2 серии, т. е. выборка — маленькая; общее число серий R = 10; ã = 0,9.

Найдем границы доверительного интервала среднего тарифного разряда рабочих цеха, т. е. границы доверительного интервала для генеральной средней.

Используем формулу:

% −

P X t

δx2	R − r
				%
r	R −1	< X < X + t

δx2	R − r			tγ
			= 2	∫
	R − 1			S(t,n)dt = γ .
r				0

По таблице Стьюдента (Приложение 3) найдем t по уровню значимости α и числу степеней свободы k.

α = 1 – ã = 1 – 0,9 = 0,1; k = r – 1 = 2 – 1 = 1.

tα=0,1; k=1= 6,31.

Найдем предельную ошибку выборки:

∆x	= t δx2	R − r	.
	r R −1

246

Для определения межсерийной (межгрупповой) дисперсии выборочных средних необходимо рассчитать групповые и общую среднюю величину.

Средний тарифный разряд ■ в первой бригаде:

%

=

∑ x

=

2

+ 4

+ 4 + 2

+ 4 +

5 + 4 + 7 + 3 + 4

=

39

= 3,9 ðàçð.

10

10

x1

n

■ во второй бригаде:

%

=

∑ x

=

37

= 3,7 ðàçð.

x2

n

10

Средний разряд рабочего в двух бригадах (общая средняя): x% = 3920+ 37 = 3,8 ðàçð.

Межсерийная (межгрупповая) дисперсия:

	r		2
%		%
	∑ (xj	− x)			(3,9 − 3,8)2 + (3,7 − 3,8)2
δx2 =	j=1			=		= 0,01.
	r				2

Предельная ошибка оценки среднего тарифного разряда рабоче-

го в двух бригадах (выборочной средней):
∆x = 6,31	0,01			10 − 2			= 6,31 0,0667	= 0,4207.
	2
			10 −1
Отсюда:
	X − ∆x <						< X + ∆x ;
					X
	%						%

3,8 − 0,4207 < X < 3,8 + 0,4207;

3,3793 < X < 4,2207.

С вероятностью 0,9 можно ожидать, что средний тарифный разряд всех рабочих цеха находится в интервале от 3,3793 до 4,2207.

Ответ. Можно ожидать, что с вероятностью 0,9, средний тарифный разряд всех рабочих цеха находится в интервале от 3,3793 до 4,2207.

Пример 7.4. Детали упакованы в 1000 ящиков по 40 деталей в каждый. Для проверки качества деталей был проведен сплошной контроль деталей в 100 ящиках (10 %-й серийный бесповторный отбор). В результате контроля установлено, что доля

247

бракованных деталей составляет 15 %. Межсерийная дисперсия равна 0,002.

С вероятностью 0,954 определить границы доверительного интервала доли бракованной продукции во всей партии.

Решение

По условию выборочное обследование проведено с помощью серийного бесповторного отбора.

Объем выборки r = 100 серий, т. е. выборка — большая; общее число серий R = 1000; выборочная доля w = 0,15; межсерийная дисперсия выборочной доли δw2 = 0,002; ã = 0,954.

Найдем границы доверительного интервала доли бракованной продукции во всей партии, т. е. границы доверительного интервала для генеральной доли.

Òàê êàê

P w − z

δ2	−	r		< p < w + z
w 1
r		R

δ2	−	r		= 2Ö0 (z) = γ,
w 1
r		R

то найдем z из соотношения 2Ф0(z) = ã:

2Ô0(z) = 0,954;

Ô0(z) = 0,954 / 2 = 0,477.

По таблице функции Лапласа (приложение 1) найдем, при каком z Ф0(z) = 0,477.

Ô0(2,0) = 0,477. Следовательно, z = 2,0.

Найдем предельную ошибку выборки:

∆w = t

δ2

−

r

= 2

0,002

−

100

= 2 0,0042 = 0,0084.

w

1

1

100

1000

r

R

Предельная ошибка выборочной доли

w − ∆w < p < w + ∆w; 0,15 −0,0084 < p < 0,15 + 0,0084;

0,1416 < p < 0,1584.

Итак, с вероятностью 0,954 можно ожидать, что доля бракованной продукции во всей партии находится в интервале от 0,1416 до 0,1584.

Ответ. С вероятностью 0,954 можно ожидать, что доля бракованной продукции во всей партии находится в интервале от 0,1416 до 0,1584.

248

Пример 7.5. В механическом цехе предприятия имеется 40 бригад по 10 рабочих в каждой бригаде. Для установления квалификации (среднего разряда) рабочих цеха предполагается использовать серийный бесповторный отбор.

Определить необходимое количество бригад, подлежащих отбору, чтобы с вероятностью 0,95 ошибка оценки среднего тарифного разряда рабочего в цехе не превышала одного разряда. На основе предыдущих исследований известно, что межсерийная дисперсия равна 0,9.

Решение:

Äàíî: ∆x = 1; δx2 = 0,9; ã = 0,95; R = 40.

Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для средней для серийного бесповторного отбора:

	r =	z2δx2R	=%	z2δx2R	.
		∆2x (R −1) + z2δx2		∆2xR + z2δx2
	x

Найдем z из соотношения 2Ф0(z) = ã:

2Ô0(z) = 0,95;

Ô0(z) = 0,95 / 2 = 0,475.

По таблице функции Лапласа (приложение 1) найдем, при каком z Ф0(z) = 0,475.

Ô0(1,96) = 0,475. Следовательно, z = 1,96.

Рассчитаем необходимую численность выборки:

	r =	1,962 0,9 40	= 3,18.
		1 40 +1,962 0,9
	x

Так как n — целое число, а также, учитывая необходимость не превысить заданную ошибку, округлим полученный результат до большего целого.

Следовательно, необходимо отобрать не менее 4 бригад. Ответ. Для определения среднего тарифного разряда с вероят-

ностью 0,95 и ∆x = 1, необходимо отобрать не менее 4 бригад.

Пример 7.6. На предприятии работает 200 бригад с одинаковой численностью рабочих. Для изучения доли рабочих, выполняющих норму выработки, предполагается использовать серийный бесповторный отбор.

249

Определить число бригад, которые необходимо отобрать в выборку, чтобы с вероятностью 0,98 предельная ошибка выборки (предельная ошибка доли рабочих, выполняющих норму выработки) не превышала 5 %, если межсерийная дисперсия выборочной доли равна 0,02.

Решение

Äàíî: ∆w = 0,05;δw2 = 0,02; ã = 0,98; R = 200.

Воспользуемся формулой расчета необходимой численности выборки для доли для серийного бесповторного отбора:

	r =	z2δw2 R	=	z2δw2 R	.
		∆2w(R −1) + z2δw2		∆2wR + z2δw2
	w

Найдем z из соотношения 2Ф0(z) = ã:

2Ô0(z) = 0,98;

Ô0(z) = 0,98 / 2 = 0,49.

По таблице функции Лапласа (приложение 1) найдем при ка-

êîì z Ô0(z) = 0,49. Ô0(2,33) = 0,49.

Следовательно, z = 2,33.

Рассчитаем необходимую численность выборки:

= 2,332 0,02 200 =

rw 0,052 200 + 2,332 0,02 35,7.

Так как n — целое число, а также учитывая необходимость не превысить заданную ошибку, округлим полученный результат до большего целого.

Следовательно, необходимо отобрать не менее 36 бригад. Ответ. Чтобы с вероятностью 0,98 предельная ошибка выборки

(предельная ошибка доли рабочих, выполняющих норму выработки) не превышала 5 %, необходимо отобрать не менее 36 бригад.

7.6. Типический (стратифицированный) отбор

При типическом способе отбора генеральная совокупность разбивается на типические группы единиц по какому-либо признаку (формируются однородные совокупности), а затем из каждой из них производится собственно-случайный или механический отбор. В отличие от серийного отбора, выделенные группы должны быть

250