statistika_проц_22

Определить, как в среднем изменились цены на проданные товары, т.е. рассчитать общий (сводный) индекс цен.

Решение

Общий (сводный) индекс цен можно определить по формуле:

Ip = ∑1p1q1 . ∑ ip p1q1

Рассчитаем индивидуальные индексы цен, и затем численные значения подставим в формулу гармонического индекса цен.

1.Спортивные сумки: ip =100,0 – 1,8 = 98,2 % èëè 0,9822.

2.Спортивная обувь: ip =100,0 + 2,2 = 102,2 % èëè 1,022.

Ip	=		25,0 + 37,5					=	62,5	=	62,5	= 1,0048 èëè 100,5 %.
									25,5 + 36,7
		1	25,0 +		1		37,5			62,2
	0,982			1,022

Абсолютное изменение товарооборота за счет влияния цен:

∆p = ∑p1q1	−∑	1	p1q1 = 62,5 – 62,2 = +0,3 (ìëí ðóá.).
		i
		p

Вывод: В октябре месяце по сравнению с сентябрем цены на реализованные товары возросли на 0,5 % (100,5 – 100,0). В связи с этим, товарооборот торговых фирм (выручка от продажи) увели- чился на 0,3 млн руб. Население же в связи с повышением цен переплатило за эти товары 0,3 млн руб., т.е. произошел перерасход денежных средств.

Средний гармонический индекс цен находит широкое применение при расчете индексов розничных цен. Что же касается, например, индекса себестоимости, то он исчисляется, как правило, по агрегатной формуле, так как на предприятиях имеется количе- ственный учет произведенной продукции.

10.4. Индексный метод анализа динамики среднего уровня: индексы переменного, постоянного состава и структурных сдвигов

Индексный метод широко применяется в статистике для исследования динамики средних уровней различных качественных показателей. На динамику средних уровней оказывают влияние два фактора:

381

1)изменение самой осредняемой величины;

2)изменение структуры исследуемых явлений, т.е. увеличение или уменьшение удельного веса (доли) единиц с более высоким или более низким уровнем изучаемого признака.

Например, на динамику средней себестоимости единицы продукции определенного вида влияют:

1)изменение самой себестоимости, т.е. денежных затрат на производство единицы продукции;

2)различия в структуре производства, вызванные изменением количества выпускаемой продукции с различным уровнем себестоимости.

При изучении динамики средних показателей очень важной задачей является измерение степени влияния в отдельности каждого фактора. Решение этой задачи возможно при использовании

системы взаимосвязанных индексов: переменного состава, постоян-

ного (фиксированного) состава и структурных сдвигов.

Индексы переменного состава — это индексы, исчисляемые путем сопоставления средних величин.

На этот индекс оказывают влияние два фактора, о которых говорилось выше.

Индексы постоянного (фиксированного) состава — это такие индексы, в которых устраняется влияние второго, структурного фактора. Таким образом, эти индексы строятся в постоянной, неизменной структуре.

Индексы структурных сдвигов (или индексы структуры) — это индексы, позволяющие измерять степень или меру влияния структуры явления на динамику средней величины.

В общем виде формулы этих индексов могут быть представлены следующим образом:

Индексы переменного состава:

∑ x1f1

∑ x0 f0

=

x

=

I

1

∑ f1

:

∑ f0

,

(10.33)

χ

x0

Çíàÿ, ÷òî

f

= w — удельный вес численности данной группы

∑ f

единиц в общем итоге, индекс можно представить в таком виде:

	I			=	∑ x1w1	.
					∑ x0w0		(10.34)
		x

382

Индексы постоянного (фиксированного) состава:
I	x	= ∑ x1f1	: ∑x0f1 = ∑x1f1 ,					(10.35)
		∑ f1			∑ f1 ∑ x0f1
èëè
			I	x	=	∑ x1w1 .		(10.36)
						∑ x0w1
Индексы структурных сдвигов:
Iñòð.ñäâ(w) = ∑x0 f1						: ∑x0 f0 =	∑x0w1 .	(10.37)
		∑ f1				∑ f0	∑x0w0

Так как индекс переменного состава показывает изменение среднего уровня качественного показателя за счет двух факторов, индекс постоянного состава — изменение в среднем только за счет одного фактора, качественного показателя, при неизменной структуре совокупности, фиксированной на уровне отчетного периода, а индекс структурных сдвигов позволяет измерить влияние структуры совокупности при базисном уровне качественного показателя, то между этими индексами существует следующая взаимосвязь: индекс переменного состава ( Ix ) равен индексу постоянного состава (Ix) умноженному на индекс структурных сдвигов (Iw):

I		= Ix Iñòð.ñäâ(w) .	(10.38)
	x

Таким образом, эта взаимосвязь выражается мультипликативной факторной моделью.

Рассмотрим формулы индексов этой мультипликативной зави-

симости:		∑ x1w1	∑x1w1	∑x0w1
I		= ∑ x0w0	= ∑x0w1	∑x0w0
	x

индекс переменного				= индекс постоянного		½ индекс структурных
состава				состава		сдвигов

Помимо мультипликативной факторной модели изучения взаимосвязи рассмотренных индексов, используется аддитивная факторная модель разложения общей абсолютной величины изменения среднего уровня.

383

Абсолютное изменение (прирост или уменьшение) среднего уровня признака в целом по совокупности за счет влияния двух факторов рассчитывается по формуле:

							∑ x1f1	∑ x0 f0
∆x(xf) = x1 − x0 =							∑ f	− ∑ f	.
							1	0

Абсолютное изменение среднего уровня за счет влияния первого фактора, т.е. за счет изменения значений изучаемого признака у отдельных единиц совокупности, определяется по формуле:

			∑ x1f1	∑ x0 f1
∆x(x) =			∑ f	− ∑ f	.
			1	1

Абсолютное изменение среднего уровня за счет влияния второго фактора, т.е. за счет структурных изменений, рассчитывается следующим образом:

			∑ x0 f1	∑ x0 f0
∆x(f) =			∑ f	− ∑ f	.
			1	0

В общем виде аддитивное разложение имеет такой вид:

∆x(xf) = ∆x(x) + ∆x(f).

Воспользовавшись общей схемой построения системы индексов, можно рассмотреть формулы конкретных индексов, например, индексов цен, индексов себестоимости и т.д.

Индекс цен переменного состава:

							∑ p1q1		∑ p0q0
		=		p		=
I			1				∑ q1	:	∑ q0	.
	p		p0

Индекс цен постоянного (фиксированного) состава:

Ip	=	∑ p1q1			:	∑ p0q1		,
		∑ q1				∑ q1
èëè
		Ip	=	∑ p1q1			.
				∑ p0q1

(10.39)

(10.40)

(10.41)

384

Индекс структурных сдвигов (Iñòð.ñäâ) можно получить из взаимосвязи индексов цен переменного и постоянного (фиксированного) состава:

I		= Ip	Iстрсдв. ., отсюда:
	p					(10.42)
			Iñòð.ñäâ = I		: Ip .
				p

Для его вычисления можно использовать абсолютные данные:

	Iñòð.ñäâ =	∑ p0q1	:	∑ p0q0	.
		∑ q1		∑ q0		(10.43)

Следующая система индексов часто применяется при решении практических задач, это индексы себестоимости:

Индекс себестоимости переменного состава:

					∑ z1q1		∑ z0q0
		=	z	=
I			1		∑ q1	:	∑ q0	.	(10.44)
	z		z0

Индекс себестоимости постоянного (фиксированного) состава:

	I	=	∑ z1q1		:	∑ z0q1		,
			∑ q1			∑ q1			(10.45)
	z
	èëè
			I	=	∑ z1q1		.
					∑ z0q1				(10.46)
			z

Индекс структурных сдвигов получаем из формулы взаимосвязи:

I		= I		Iñòð.ñäâ , отсюда:
	z		z
				ñòð.ñäâ.
				Iñòð.ñäâ= I		: Iz .	(10.47)
					z

Можно для вычисления индекса структурных сдвигов воспользо-

ваться абсолютными данными:
I ñòð.ñäâ =	∑ p0q1	:	∑ p0q0	.
	∑ q1		∑ q0		(10.48)

Рассмотренные нами конкретные индексы позволяют, так же как и другие формы индексов, определять не только относительное, но и абсолютное изменение среднего уровня за счет совместного влияния двух факторов и каждого в отдельности.

Методику расчета индексов переменного, постоянного (фиксированного) состава и структурных сдвигов рассмотрим на условных данных примеров 10.5 и 10.6.

Пример 10.5. Имеются данные о ценах и объемах продаж товара «А» в двух регионах.

385

	Базисный период		Отчетный период
Регионы	Продано,	Öåíà 1 êã,	Продано,	Öåíà 1 êã,
	òûñ. êã.	ðóá.	òûñ.êã.	ðóá.
I	42,0	40	40,0	50
	30,0	30	20,0	40
II	q0 ( f0 )	p0 (x0 )	q1( f1)	p1(x1)

Определить:

1.Индекс цен переменного состава.

2.Индекс цен постоянного (фиксированного) состава.

3.Индекс структурных сдвигов.

4.Абсолютное изменение средней цены под влиянием различ- ных факторов.

Показать взаимосвязь исчисленных индексов и абсолютных приростов.

Решение

Определяем следующие индексы: 1. Индекс цен переменного состава,

∑x1f1

∑x0f0

1

∑p1q1

∑p0q0

I

=

x

1

=

, èëè I

=

p

=

∑ f1

:

∑ f0

∑q1

:

∑q0

.

x

p

x0

p0

Ip

=

50 40,0

+ 40 20,0

:

40 42,0

+ 30 30,0

=

2800,0

:

2580,0

=

46,7

=

40,0

+ 20,0

42,0

+ 30,0

60,0

72,0

35,8

= 1,3044 , или 130,4 % Для расчета общего абсолютного изменения средней цены мо-

жет быть построено аддитивное разложение:

							∑p1q1		∑p0q0
∆p(pq) = p1 − p0 =							∑q1	−	∑q0	= 46,7 – 35,8 = 10,9 (ðóá.).

Вывод: Средняя цена товара «А» в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась в среднем за счет влияния двух факторов и цен, и количества продаж, на 30,4% (130,4 –100,0), или на 10,9 руб.

2. Индекс цен постоянного (фиксированного) состава

Iχ =	∑x1f1		∑x0 f1	=	∑ x1f1
	∑ f1	:	∑ f1		∑x0 f1	, èëè

386

	∑ p1q1			∑ p0q1						50	40,0	+ 40 20,0					40 40,0		+ 30 20,0			2800,0
Ip = ∑ q1			:			∑ q1		=							:						:		=
											40,0	+ 20,0				40,0			+ 20,0			60,0
=	2200,0	=	46,7				= 1,2724,èëè 127,3 %.
60			36,7
	Можно также Ip рассчитать по формуле:
	∑ p1q1					; Ip =			50 40,0 + 40				20,0	=		2800,0		= 1,2727 èëè 127,3 %.
	Ip = ∑ p q
					1				40 40,0 + 30				20,0			2200,0
			0

Абсолютное изменение средней цены за счет влияния первого фактора (только цен в каждом регионе) определяем следующим образом:

			∑ p1q1		∑ p0q1
∆p(p) =			∑ q	−	∑ q	= 46,7 – 36,7 = 10,0 (ðóá.).
			1		1

Вывод: В отчетном периоде по сравнению с базисным в результате изменения цен товара «А» в отдельных регионах средняя цена увеличилась на 27,3 % (127,3 – 100,0), или на 10,0 руб.

3. Индекс структурных сдвигов.

Iñòð.ñäâ. =

∑ x0 f1

∑ x0 f0

∑ f

: ∑ f

,

1

0

èëè

∑ p0q1

∑ p0q0

Iñòð.ñäâ. =

=

40

40,0 + 30 20,0

40

42,0

+ 30 30,0

=

∑ q1

:

∑ q0

:

40,0 + 20,0

42,0

+ 30,0

= 2200,0 : 2580,0 = 36,7 = 1,025, èëè 102,5 %. 60,0 72,0 35,8

Абсолютное изменение средней цены за счет влияния второго фактора (изменений в структуре продаж товара «А») определим так:

			∑ p0q1		∑ p0q0
∆p =			∑ q	−	∑ q	0	= 36,7 – 35,8 = 0,9 (ðóá.).
			1

Вывод: В отчетном периоде по сравнению с базисным средняя цена товара «А» увеличилась всего лишь на 2,5 % (102,5 – 100,0), или на 0,9 руб. за счет влияния изменений в структуре продаж товара «А». Проверим взаимосвязь исчисленных индексов и абсолютных приростов:

387

I

= I

I

.. . , отсюда

I .

= I

: I

, èëè I

= I

I

, отсюда

x

x

x

x

p

p

ñòð.ññäâ

стрсдв

ñòð.ñäâ.

Iñòð.ñäâ.

= I

: Ip

= 1,3044 : 1,2727 = 1,025 èëè 1025,5%.

p

В общем виде аддитивное разложение абсолютных приростов имеет такой вид:

∆p pq = ∆p p + ∆p q = 10,0 + 0,9 = 10,9 (ðóá.).

Пример 10.6. В отчетном периоде по сравнению с базисным средняя урожайность зерновых культур повысилась на 3,6 %. За счет изменения урожайности каждой из культур средняя урожайность этих культур повысилась на 8,0 %. Определить, как изменилась средняя урожайность зерновых культур в результате изменения структуры посевных площадей?

Решение

На изменение средней урожайности зерновых культур оказывают влияние два фактора: изменение самой урожайности и структурные сдвиги. Индексы, отражающие изменение средних величин за счет двух факторов, называются индексами переменного состава ( Ix ). Итак, индекс средней урожайности зерновых культур переменного состава равен: Ix = 100,0 + 3,6 = 103,6 %, èëè 1,036.

Индексы, отражающие изменение средних величин за счет влияния только индексируемых величин при постоянных весах называются индексами постоянного состава (Ix).

Индекс средней урожайности зерновых культур постоянного (фиксированного) состава равен: Ix = 100,0 + 8,0 = 108,0 %, èëè 1,080.

Индекс, который требуется определить, это индекс структурных сдвигов. В нашем примере, с помощью этого индекса можно определить степень влияния структурных сдвигов на изменение средней урожайности зерновых культур. Взаимосвязь между этими индексами выражается мультипликативной факторной моделью:

I

= I

I

. Отсюда, индекс структурных сдвигов равен:

Iñòð.ñäâ. = I

I

;

x

x

x :

x

ñòð.ñäâ.

ñòð.ñäâ.

Iñòð.ñäâ.= 1,036:1,080 = 0,959 èëè 95,9 %.

Вывод: В отчетном периоде по сравнению с базисным в результате изменения структуры посевных площадей урожайность зерновых культур снизилась в среднем на 4,1 % (95,9 – 100,0).

Расчеты, произведенные в примерах 10.5 и 10.6, соответствуют принятой методологии построения индексов.

Область применения индексов переменного, постоянного (фиксированного) состава и структурных сдвигов довольна обширна. Они применяются в статистике товарных рынков, в статистике труда,

388

в статистике оплаты труда, при изучении основных фондов, в статистике финансов, в биржевой статистике, в статистике сельского хозяйства и т.д.

10.5. Ряды индексов с постоянной и переменной базой сравнения (цепные и базисные), с постоянными

и переменными весами

Изменение социально-экономических явлений очень часто изу- чают не за два периода, а за более длительный отрезок времени (три, четыре, пять и более периодов). В этих случаях возникает проблема выбора базы сравнения. В зависимости от базы сравнения различают цепные и базисные индексы.

Цепные индексы — это индексы, имеющие переменную, т.е. меняющуюся базу сравнения.

Базисные индексы — это такие индексы, в которых база сравнения не меняется, остается постоянной.

Цепные и базисные индексы подразделяются на индивидуальные и общие (сводные) индексы.

Методика построения индивидуальных индексов (и цепных, и базисных) очень проста. Возьмем несколько последовательных периодов (годы): 2000, 2001, 2002, 2003, 2004.

Для построения индивидуальных индексов количества продукции введем соответствующие обозначения: q0, q1, q2, q3, q4.

Построим за пять последовательных периодов цепные индивидуальные индексы количества продукции:

i

=

q1

; i

=

q2

; i

=

q3

; i

=

q4

.

(1049)

q(2ö)

q(3ö)

qq(4ö)

q((1ö))

q0

q1

q2

q3

За эти же периоды построим базисные индивидуальные индексы количества продукции:

iq

=

q1

;

i

=

q2

;

iq

=

q3

; i

=

q4

.

(10.50)

q(2á)

q

q(1á)

q0

q(2 )

q(3á))

q0

q(4á)

q0

q0

Между цепными и базисными индексами существует взаимосвязь, позволяющая переход от одних индексов к другим, заключается она в следующем: произведение всех цепных индексов равно соответствующему базисному индексу (индексу последнего периода):

i

i

i

i

=

q1

q2

q3

q4

=

q4

.

(10.51)

qq(1ö))

qq(2ö)

q(3ö))

q(4ö))

q0

q1

q2

q3

q0

389

Из этой взаимосвязи следует: отношение каждого последующего базисного индекса к предшествующему базисному индексу позволяет получить соответствующий (промежуточный) цепной индекс:

1. iq(2á): iq(1á) = iq(2ö), раскроем эти индексы:

q2

:

q1

=

q2

;

(10.52)

q0

q0

q1

2. iq(3á): iq(2á) = iq(3ö),

ò.å.,

q3

:

q2

=

q3

;

(10.53)

q0

q0

q2

3. iq(4á): iq(3á) = iq(4ö),

ò.å.,

q4

:

q3

=

q4

.

(10.54)

q0

q0

q3

Важно отметить, что рассмотренная взаимосвязь цепных индексов всегда проявляется в индивидуальных индексах, а в сводных индексах — только в случае постоянства весов (соизмерителей).

Чтобы рассмотреть методику построения сводных цепных индексов, воспользуемся агрегатной формой индекса физического объема продукции.

Допустим, нам известны цены взятых выше пяти периодов: p0,

p1, p2, p3, p4.

Построим ряд сводных цепных индексов физического объема про-

дукции с постоянными весами (соизмерителями — р0):

I

=

∑ q1p0

;

I

=

∑ q2p0

;

I

=

∑ q3p0

;

I

=

∑ q4p0

.

q

∑ q0p0

q

∑ q1p0

q

∑ q2p0

q

∑q3p0

(10.54)

Не трудно убедиться, что при перемножении этих индексов

	можно получить общий базисный индекс:
	∑ q1p0		∑ q2p0		∑ q3p0		∑ q4p0	=	∑ q4p0	.
	∑ q0p0		∑ q1p0		∑ q2p0		∑ q3p0		∑ q0p0		(10.55)

Так как эти индексы имеют одни и те же веса (соизмерители — р0 ), то возможен переход не только от цепных к базисным но и наоборот: при построении базисных индексов с постоянными весами (соизмерителями).

Взаимосвязь между цепными сводными индексами не проявится тогда, когда в этих же индексах (10.55) в качестве весов (соизмерителей) будут взяты цены предшествующего периода. Чтобы убе-

390