statistika_проц_22

Окончание табл 8.9

Правило	H	0 отклоняется, если:
принятия	à)		Z íàáë			≥ Z êð;α 2
решения
	á)		Z	íàáë		≥ Z ïðàâ
						êð;α
	â)		Z	íàáë		≤ Z ëåâ
						êð;α

Пример 8.5. Маркетинговое исследование, проведенное менеджером университетского кафе, показало, что из 100 иногородних студентов 43 обедают в кафе по крайней мере 1 раз в неделю. Выборка 100 студентов, живущих дома (местных), показала, что только 27 человек из них обедают в кафе хотя бы один раз в неделю. Используя 5 %-ый уровень значимости, определите, существует ли разница между долями двух групп студентов, обедающих в кафе.

Решение

1) Согласно условию требуется проверить нулевую гипотезу

H0 : p1 = p2

против альтернативной гипотезы

H1 : p1 > p2 (òàê êàê

43 > 27

). Имеем правостороннюю критическую область.

100

100

2) Для проверки гипотезы H0 применим статистику (8.11)

m1

−

m2

Z =

n1

n2

n,

pq

ãäå n =

n1n2

;

=

m1 + m2

;

= 1 −

.

p

q

p

n1 + n2

n1 + n2

α = 0,05 — уровень значимости.

3) Вычислим Zíàáë.

Òàê êàê

m1

= 0,43 ;

m2

= 0,27;

n =

100 100

= 50 ;

n1

n2

100 +100

=

43 + 27

= 0,35;

= 1 − 0,35 = 0,65 , òî

p

q

100 +100

Z íàáë =

0,43 − 0,27

50 =

0,16

≈

0,16

7,07 = 2,35.

0,2275

0,35 0,65

0,48

301

4) Zêð(0,05)) = Φ0−1 (0,5 − 0,05) = Φ0−1 (0,45) = 1,645. 5)

00 01

Zêð = 1,645

Zíàáë= 2,35

Значит, нулевая гипотеза отклоняется; есть разница в долях.

8.14. Критерии согласия. Критерий Пирсона

Одной из главных задач математической статистики является

установление истинного закона распределения случайной величи- ны на основании экспериментальных данных.

На практике о виде закона распределения можно судить, по графику выборочной плотности распределения вероятностей. Параметры закона распределения обычно неизвестны и их заменяют на выборочные значения. Однако, как мы ни выбирали вид закона распределения и его параметры, полной уверенности в том, что мы получим истинный закон распределения, к которому принадлежит имеющаяся у нас выборка, не существует. Поэтому речь может идти лишь о том, что на определенном уровне доверия выбранный нами закон согласуется с данными выборки.

В соответствии с этим критерием, устанавливающие закон распределения называются критериями согласия.

Пусть {x1, x2,…,xn} — выборка из некоторой генеральной совокупности X, F(x) — предполагаемая функция теоретического распределения. На основании выборки построим интервальный ряд {Дi,

ni}, i = 1, m, ãäå ni — число элементов выборки, попавших в интервал ДI = [ai, ai+1). Для каждого интервала Дi вычислим теоретические вероятности Pi попадания случайной величины Х в интервал Дi:

pi = p{x Äi} = F(ai+1) – F(ai)				(8.12)
Числа ni è nPi называются эмпирическими				и теоретическими
частотами. Доказано, что при n → ∞ статистика
n		2
t = ∑	(ni	− npi )		(8.13)
		npi
i=1

302

t < xk2 ,êð.

имеет χ 2 — распределение с k = m – r – 1 степенями свободы, где m — число интервалов вариационного ряда, r — число параметров теоретического распределения, вычисленных по экспериментальным данным.

Основная гипотеза H0 состоит в том, что функцией распределения случайной величины X является выбранная нами теоретичес-

кая функция F(x).				γ
	Для заданного уровня доверия					по таблицам распределения
x2	находим критическое значение
k
	x2 ,	êð	: p{ x2		<	x2	,	êð	} = γ	(8.14)
	k			k		k

Гипотеза H0 о согласии экспериментальных данных с распределением F(x) принимается, если

(8.15)

Заметим, что статистика t имеет распределения χ 2 при n → ∞ , поэтому критерий Пирсона следует применять только при больших n (n > 30).

´Контрольные вопросы к главе 8

1.Дайте определение статистической гипотезы. Приведите примеры статистических гипотез (основной и альтернативной) из области коммерческой или биржевой деятельности.

2.Приведите примеры простой и сложной гипотез. Объясните принципы проверки нулевых гипотез с помощью статисти- ческих критериев значимости.

3.Что называется ошибкой первого рода? Ошибкой второго рода?

4.Можно ли, применяя статистический критерий значимости, сделать вывод: «проверяемая нулевая гипотеза верна»?

5.Что такое мощность критерия?

6.Как находятся критические точки статистических критериев значимости (Z, T, χ2 , F) в случае двусторонней критической области? В случае левосторонней критической области? В случае правосторонней критической области?

7.С помощью каких критериальных статистик осуществляется проверка гипотез о числовом значении генеральной средней одной нормально распределенной генеральной совокупнос-

303

ти? О числовых значениях генеральных средних двух совокупностей?

8.С помощью каких критериальных статистик осуществляется проверка гипотез о дисперсии одной нормально распределенной генеральной совокупности? О генеральных дисперсиях двух нормально распределенных совокупностей?

9.Что называется критерием согласия?

10.На основании каких признаков можно вести предварительный выбор закона распределения?

þТесты для самопроверки к главе 8

1. Статистическим критерием называют:

1)любую непрерывную случайную величину;

2)случайную величину, которая служит для проверки статистической гипотезы;

3)случайную величину, подчиняющуюся нормальному закону распределения;

4)любую дискретную случайную величину.

2. В чем состоит ошибка первого рода?

1)в том, что нулевая гипотеза будет отличаться от конкурирующей;

2)в том, что будет принята неправильная нулевая гипотеза;

3)в том, что будет отвергнута правильная гипотеза;

4)в том, что выборочные характеристики будут отличаться от истинных характеристик генеральной совокупности.

3.	Допустить ошибку второго рода — значит:
1)	отвергнуть нулевую гипотезу, когда она верна;
2)	отвергнуть нулевую гипотезу, когда она неверна;
3)	принять нулевую гипотезу, когда она верна;
4)	принять нулевую гипотезу, когда она неверна.
4.	Что такое критическая область?

1)область допустимых значение СВ;

2)область принятия гипотезы;

304

3)совокупность значений критерий, при которых нулевую гипотезу нельзя отвергнуть;

4)совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

5.Если конкурирующая гипотеза имеет вид M(X) < M(Y), то критическая область —

1)левосторонняя;

2)правосторонняя;

3)двусторонняя;

4)правильная.

6.Гипотеза о равенстве двух дисперсий нормально распределенных генеральных совокупностей относится:

1)к гипотезам о форме распределения;

2)к гипотезам о долях;

3)к параметрическим гипотезам;

4)к непараметрическим гипотезам.

7.Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей осуществляется с помощью критерия:

1)F — Фишера-Снедекора;

2)Z — нормально распределенной случайной величины;

3)T — Стьюдента;

4)χ2 — Пирсона.

8.Сравнение двух средних арифметических нормально распределенных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки), осуществляется с помощью критерия:

1)F — Фишера-Снедекора;

2)Z — нормально распределенной случайной величины;

3)T — Стьюдента;

4)χ2 — Пирсона.

9.Сравнение наблюдаемой относительной частоты с гипотети- ческой вероятностью осуществляется с помощью критерия:

1)F — Фишера-Снедекора;

2)Z — нормально распределенной случайной величины;

305

3)T — Стьюдента;

4)χ2 — Пирсона.

10. При сравнении двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны, при нулевой и конкурирующей гипоте-

çàõ: H0 : M (X) = M (Y) è H1 : M (X) > M (Y), критическом значе- нии критерия, равном 2,1, нулевая гипотеза отвергается в пользу

конкурирующей, если:

1)Fí < 2,1;

2)Zí < 2,1;

3)Tí < 2,1;

4)Uí < 2,1.

11.Наблюдаемое значение критерия Kíàáë = –2,1. При левосторонней конкурирующей гипотезе:

1) если критическое значение Kêð. = –2,1, то нулевую гипотезу следует отвергнуть;

2) если критическое значение Kêð. = 2,0, то нулевую гипотезу следует отвергнуть;

3) если критическое значение Kêð. = –2,2, то нулевую гипотезу нельзя отвергнуть;

4) если критическое значение Kêð. = –2,0, то нулевую гипотезу нельзя отвергнуть.

12.Наблюдаемое значение критерия Kíàáë = –2,1. При двусторонней конкурирующей гипотезе:

1)если критическое значение Kêð.ëåâ = –2,1 è Kêð.ïð = 2,1, то нулевую гипотезу следует отвергнуть;

2)если критическое значение Kêð.ëåâ = –2,0 è Kêð.ïð = 2,0, то нулевую гипотезу нельзя отвергнуть;

3)если критическое значение Kêð.ëåâ = –2,2 è Kêð.ïð = 2,2, то нулевую гипотезу нельзя отвергнуть;

4)если критическое значение Kêð.ëåâ = –1,9 è Kêð.ïð = 1,9, то нулевую гипотезу следует отвергнуть.

13. Партия изделий принимается в том случае, если вероятность того, что изделие окажется соответствующим стандарту, составляет не менее 0,95. Среди случайно отобранных 400 изделий проверяемой партии оказалось 393 соответствующих стандарту. Можно ли

306

на уровне значимости α =0,02 принять партию? При решении этой задачи нулевую и конкурирующую гипотезы нужно сформулировать следующим образом:

1)H0 : a = a0; H1 : a > a0;

2)H0 : p = p0; H1 : p < p0;

3)H0 : a = a0; H1 : a < a0;

4)H0 : p = p0; H1 : p > p0.

14. Крупная торговая фирма желает открыть в новом районе города филиал. Известно, что фирма будет работать прибыльно, если среднемесячный душевой доход жителей района превышает 500 руб. Также известно, что дисперсия дохода составляет 500 руб2. Можно ли открывать филиал в этом районе, если в выборке из 100 человек среднемесячный доход составил 506 руб.? При решении этой задачи нулевую и конкурирующую гипотезы нужно сформулировать следующим образом:

1)H0 : a = a0; H1 : a > a0;

2)H0 : p = p0; H1 : p < p0;

3)H0 : a = a0; H1 : a < a0;

4)H0 : M(X) = M (Y) ; H1 : M (X) ≠ M(Y) .

15. В прошлом году из 80 опрошенных 40 сказали, что предпочи- тают иметь дело со Сбербанком, а не с другими банками. В текущем году из 50 опрошенных 30 отдали предпочтение Сбербанку. Является ли превышение доли довольных работой Сбербанка с 50 % до 60 % существенным? При решении этой задачи нулевую и конкурирующую гипотезы нужно сформулировать следующим образом:

1)H0 : a = a0; H1 : a > a0;

2)H0 : p = p0; H1 : p < p0;

3)H0 : a = a0; H1 : a < a0;

4)H0 : M(X) = M (Y) ; H1 : M (X) ≠ M(Y) .

@Контрольные задания к главе 8

1. Производители нового вида аспирина утверждают, что он снимает головную боль за 30 минут. Случайная выборка 121 человека, страдающих головными болями, показала, что новый тип аспирина снимает головную боль за 28,6 минут при среднем квадратическом

307

отклонении 4,2 минуты. Проверьте на уровне значимости a = 0,05 справедливость утверждения производителей аспирина о том, что это лекарство излечивает головную боль за 30 минут.

2.Эксперт страховой компании полагает, что в течение последних нескольких лет средний размер страховых обязательств по импортным автомобилям был равен $1000. Для проверки этого предположения была организована выборка 25 владельцев автомобилей. Проведенное обследование показало, что средний размер страхового обязательства равен $1500 с исправленным стандартным отклонениям S = $47. Могут ли результаты выборки опровергнуть утверждение эксперта страховой компании, что средний размер

страхового обязательства равен $1000? Уровень значимости принять равным α =0,01.

3.Биржевой маклер исследует возможности двух инвестиций А

èВ. Инвестиция А предполагается на срок 10 лет с ожидаемой ежегодной прибылью в течение этого периода с 17,8 %. Инвестиция В рассчитана на срок 8 лет также с ожидаемой годовой прибылью 17,8 %. «Исправленные» дисперсии ежегодных прибылей от двух инвестиций составляют (7,14 %)2 è (3,21 %)2. Есть ли какое-либо основание утверждать, что риски инвестиций А и В не равны?

Предполагается, что распределения ежегодных прибылей на инвестиции подчиняется нормальному закону распределения (α = 0,01).

4.Выдвинута гипотеза, что применение новой методики обслуживания клиентов в филиале банка не сокращает время обслуживания клиентов. Проведено 55 измерений времени (в минутах) до и после применения новой методики. Это исследование дало следующие результаты:

	Интервалы	10–12	12–14	14–16	16–18	18–20	20–22	22–24
	времени
	äî	2	4	8	14	16	10	3
	после	5	11	16	12	7	3	1

Проверьте гипотезу равенства среднего времени обслуживания клиентов в филиале банка до и после применения новой методики обслуживания. Уровень значимости применять равным α = 0,01 .

308

5. Менеджер по рекламе компании, производящей овсяные хлопья для завтрака, хотел бы выяснить, повлияла ли новая форма упаковки на сбыт продукции компании. С этой целью им была организована случайная выборка 30 однотипных магазинов, 18 из которых начали продавать овсяные хлопья в новой упаковке и 12 — в старой упаковке. Через неделю он получил следующие результаты:

Новая упаковка	Старая упаковка
X%1 =130 коробок	X%2 =117 коробок
S1 =12 коробок	S2 =16 коробок

Используя 5 %-й уровень значимости, проверьте утверждение менеджера о том, что новая форма упаковки привела к увеличе- нию сбыта овсяных хлопьев.

6.Некоторая компания рассматривает проблему продвижения работников, обладающих лучшими способностями, квалификацией

èопытом, на более высокий служебный уровень. Руководитель кадровой службы докладывает руководителю компании, что по его оценке 80 % работников компании отвечают требованиям, необходимым для повышения. Однако специальная комиссия, приглашенная советом директоров компании, нашла, что только 75 % из 200 проинтервьюированных работников отвечают квалификаци-

онным требованиям продвижения. Используйте эту информацию для проверки двусторонней гипотезы H0 : p = 0,80, ïðè α = 0,05.

7.Новое лекарство, изобретенное для лечения атеросклероза, должно пройти экспериментальную проверку для выяснения возможных побочных эффектов. В ходе эксперимента лекарство принимали 4000 мужчин и 5000 женщин. Результаты выявили, что 60 мужчин и 100 женщин испытывали побочные эффекты при приеме нового медикамента. Можем ли мы на основании эксперимента утверждать, что побочные эффекты нового лекарства в большей

степени проявляются на женщинах, чем на мужчинах? Принять уровень значимости α =0,05.

8.Партия изделий принимается, если дисперсия контролируе-

мого размера не превышает 0,2. По выборке n = 30 изделий вы- числена S2 = 0,25. Можно ли принять партию при α = 0,05?

309

9. Имеются выборочные данные о числе сделок, заключенных брокерскими фирмами и конторами города в течение месяца.

	Число заключенных сделок	0–10	10–20	20–30	30–40	40–50
	Число брокерских фирм	23	24	11	9	3
	и контор

Проверить на уровне значимости α = 0,05, используя критерии согласия Пирсона, гипотезу о нормальном законе распределения.

10.Записи в историях болезней большого госпиталя показали, что 52 мужчины в выборке из 1000 мужчин и 23 женщин в выборке из 1000 женщин поступили в госпиталь с обширным инфарктом. Дают ли приведенные данные достаточно оснований для утверждения о том, что доля пораженных инфарктом среди мужчин существенно выше, чем среди женщин.

11.Руководство большого универсама решило упорядочить оче- редь к кассам и проверить, является ли вариация времени ожидания в очереди к кассам одинаковой. С этой целью были организованы две независимые выборки по 12 наблюдений времени ожидания в очереди к двум кассам. Результаты эксперимента дали

следующие результаты: S1 = 25 ìèí., S2 = 3,1 мин. Проверьте гипотезу на уровне значимости α = 0,01.

12.В таблице приведены данные о месячном доходе 100 жителей региона (в тыс. руб.)

Интервалы	Частоты mi
8–10	6
10–12	16
12–14	54
14–16	14
16–18	8
18–20	2
Сумма	n = ∑mi = 100

Проверьте, используя критерий согласия χ2 , гипотезу о том, что данные о месячном доходе жителей подчиняются нормальному закону распределения.

310