II. Объяснение нового материала.

1. Доказательство теоремы о площади треугольника можно организовать в форме беседы по вопросам:

1) чему равна площадь любого треугольника?

2) какие формулы применяются для вычисления координат точки?

3) По рисунку 292 учебника провести доказательство теоремы о площади треугольника.

2. Устно решить задачу: найти площадь треугольникаАВС, еслиАВ= 12 см,АС= 8 см,А= 30°.

3. Доказать теорему синусов, используя теорему о площади треугольника.

III. Закрепление изученного материала (решение задач).

1. Решить задачу № 1020 (б) на доске и в тетрадях.

Решение

S=АВ ·ВСsinB=∙ 18∙ 3 sin 45° = 9∙ 3 ∙= 27 (cм²).

Ответ: 27 cм².

2. Решить задачу № 1022.

Решение

S= 60 см²;S=АВ ·AСsinA; 60 =AB· 15 sin 30°;

60 = АВ ·;АВ= 60 := 16 (см).

Ответ: 16 см.

3. Решить задачу № 1026.

Решение

Используем теорему синусов:

; B = 180° – (60° + 75°) = 45°;

; AB = ≈ 15 (см).

S_ΔABC = АC · AB sin A = · 12 · 15 sin 75° ≈ 87 (см²).

Ответ:АВ≈ 15 см;S_АВС= 87 см².

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал пунктов 96 и 97; повторить материал п. 89; решить задачи №№ 1020 (а, в), 1023.

Урок 5 Теорема косинусов

Цели:доказать теорему косинусов и научить учащихся применять ее при решении задач.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Сформулировать и доказать теорему о площади треугольника (вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними).

2. Сформулировать и доказать теорему синусов.

3. Проверить решение задачи № 1023.

II. Изучение нового материала.

1. Записать формулу расстояния между двумя точками: точкиМ₁(х₁;у₁),М₂(х₂;у₂),

d=М₁М₂=.

2. Доказать теорему косинусов, используя рисунок 293 учебника.

3. Теорему косинусов называют иногда обобщенной теоремой Пифагора. Такое название объясняется тем, что в теореме косинусов содержится как частный случай теорема Пифагора.

В самом деле, если в треугольнике АВСуголАпрямой, то cosА= = cos 90° = 0 и по формулеа²=b²+с²– 2bс ∙ cosАполучаема²=b²+с², то есть квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

4. Обсудить с учащимися, какие три элемента треугольника нужно знать, чтобы вычислить четвертый элемент (сторону или угол), используя: 1) теорему синусов; 2) теорему косинусов.

III. Решение задач.

1. Решить задачу 1.

Найдите сторону АВтреугольникаАВС, еслиВС= 3 см,АС= 5 см,С= 60°.

Решение

АВ²=ВС²+АС²– 2 ∙ВС ∙АС ∙ cosС= 3²+ 5²– 2 ∙ 3 ∙ 5 cos 60° = 9 + + 25 – 15 = 19;АВ=см.

Ответ:см.

2. Решить задачу 2.

Найдите сторону bтреугольникаАВС, еслиа= 4,с=иВ= = 135°.

Решение

По теореме косинусов находим b:

b==

=≈ 5,7.

Ответ: ≈ 5,7.

3. Решить задачу 3. Найдите уголАтреугольникаАВС, еслиАВ= =АС= 1 м,ВС=м.

Решение

Пользуясь теоремой косинусов, получаем: а²=b²+с²– 2bс ∙ cosА;

cos А=;АС=b= 1 м;АВ=с= 1 м;ВС=а=м.

cos А=; cosА=, тогдаА= 120°.

Ответ: 120°.

4. Решить задачу № 1031.

Решение

а) а= 5;b= 4;с= 4. Найдем cosА=. Так как> 0, но меньше 1, то самый большой уголАв треугольнике будет острым. Следовательно, треугольник является остроугольным.

Ответ: остроугольный.

б) а= 17;b= 8;с= 15.

cos А== 0;

сos А= 0, значит,А= 90°.

Ответ: прямоугольный.

в) а= 9;b= 5;с= 6.

cos А=.

Так как –1 < < 0, тоА– тупой.

Ответ: тупоугольный треугольник.