- •§2. -Мерное аффинное пространство
- •§3. Аффинная система координат
- •§4. -Мерные плоскости
- •§5. Уравнения -мерных плоскостей
- •§6. Определение некоторых фигур аффинного пространства
- •Лекция 2.-мерное евклидово (точечное) пространство §7. Евклидово векторное пространство
- •§8. Евклидово -мерное точечное пространство
- •Раздел VI. Проективная геометрия Лекция 1.Проективное n-мерное пространство. Модели проективной прямой и плоскости
- •§1. Центральное проектирование. Предмет проективной геометрии
- •§2. Аксиоматическое определение проективного пространства. Модели проективной прямой и проективной плоскости
- •Лекция 2. Проективные реперы на прямой и плоскости. Уравнение прямой на проективной плоскости §3. Проективные координаты
- •§4. Однородные аффинные координаты
- •§5. Уравнение прямой на проективной плоскости
- •Лекция 3. Принцип двойственности. Теорема Дезарга §6. Принцип двойственности. Теорема Дезарга
- •Лекция 4. Сложные отношения точек и прямых. Гармонические четверки точек и прямых в полном четырехвершиннике §7. Сложное отношение четырех точек прямой
- •§8. Сложное отношение четырех прямых пучка
- •§9. Гармонические четверки
- •Лекция 5. Проективные отображения. Проективные преобразования. Предмет проективной геометрии §10. Проективные преобразования плоскости
- •§11. Проективные отображения прямых и пучков
- •Лекция 6. Квадрики на проективной плоскости. Полюсы и поляры §12. Линии второго порядка на проективной плоскости
- •§13. Полюсы и поляры. Поляритет
- •§14. Классификация линий второго порядка на проективной плоскости
- •§15. Овальные линии второго порядка
- •Лекция 7. Аффинная и евклидова геометрии с проективной точки зрения §16. Проективная модель аффинной плоскости
- •§17. Проективная модель евклидовой плоскости
- •Раздел VII. Топология Лекция 1. Топологическое пространство. Индуцированная топология. Топологические подпространства §1. Метрические пространства
- •§2. Определение и примеры топологических пространств
- •§3. Индуцированная топология. Топологическое подпространство
- •§4. Замкнутые множества
- •§5. Окрестности. Типы точек. Замыкание
- •Лекция 2. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы. Предмет топологии. Связность и компактность как основные инварианты топологического пространства §6. Непрерывность и гомеоморфизм
- •§7. Примеры топологических инвариантов
- •Лекция 3. Замкнутые поверхности в трехмерном пространстве и их классификация §8. Понятие поверхности. Замкнутые поверхности
- •§9. Ориентируемость поверхности. Эйлерова характеристика
- •§10. Топологические свойства проективной плоскости
- •Литература
§13. Полюсы и поляры. Поляритет
Пусть на проективной плоскости относительно репера линиявторого порядка задается уравнением.
Для произвольной точки плоскости рассмотрим множествовсех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению:
. (1)
Если не особая точка, то уравнение (1) определяет прямую: − поляра точки ,−полюс прямой .
Если линия не имеет особых точек, то для каждой точкиплоскости существует единственная поляра. Для каждой прямойсуществует единственная точка− полюс, координаты которого можно найти из системы уравнений, где. Кроме того, если, то их поляры различны. Предположим противное. Тогдаили имеем систему линейных однородных уравнений
,
определитель которой отличен от нуля. Следовательно, система имеет только нулевое решение. Тогда .
Таким образом, всякая невырожденная линия второго порядка определяет биекцию между точками и прямыми плоскости −поляритет.
Свойства полюсов и поляр.
Из уравнения (1) следует, если точка принадлежит линии, то её полярой является касательная кв точке.
Из уравнения (1) следует, если точка принадлежит своей поляре, то эта точка принадлежит линии.
Пусть точка не лежит на линии. Проведем черезпрямую, пересекающуюв двух различных точкахи. Найдем наточкутакую, что парагармонически разделяет пару.
Ясно, что и. Точки,порождаются векторами, где каждое из чиселотлично от нуля. Имеем
.
Это отношение должно быть равно , поэтомуили. То есть сумма корней квадратного уравнения
,
определяющего точки пересечения прямой и линии, должна быть равна. Значит, второй коэффициент в уравнении должен быть равен нулю:. Отсюда следует, что точкапринадлежит поляреточки.
Таким образом, имеем способ построения поляры точки , не лежащей на линии: через точку проводим прямыеи, пересекающиесоответственно, в точкахи; для каждой тройки точеки, строим четвертую гармоническую точкуи; прямая− поляра точки.
Так как , то имеемсвойство взаимности поляритета: если точка лежит на поляреточки, то точкалежит на поляреточки.
Пусть прямая пересекает линиюв двух точкахи. Тогда, по свойству 1, поляраточки,является касательной кв точке.
Пусть − полюс прямой. Из условия, по свойству взаимности поляритета, следует, что. Следовательно,. Таким образом, можем строить касательныек линии, гдеи− поляра точки.
Обратно, если через точку проходят две касательные к линиии− точки касания, то прямая − поляра точки.
Если через точку проходят две касательные к линии, то точканазывается внешней относительно линии.
Если через нельзя провести ни одной касательной, то− внутренняя относительно линии.
У п р а ж н е н и е. На евклидовой плоскости дан эллипс. На расширенной плоскости построить поляру данной точки относительно этого эллипса в случае: а)находится на эллипсе; б)является внутренней точкой относительно эллипса; в)является внешней точкой относительно эллипса; г)является несобственной точкой некоторой прямой.
У п р а ж н е н и е. На евклидовой плоскости дан эллипс. На расширенной плоскости построить полюс данной прямой относительно данного эллипса в случае а)пересекает эллипс в двух различных вещественных точках; б)касается эллипса; в)пересекает эллипс в двух мнимых комплексно-сопряженных точках; г)− несобственная прямая расширенной плоскости.
У п р а ж н е н и е. Пользуясь одной линейкой, через точку вне круга провести касательную к окружности этого круга.