- •§2. -Мерное аффинное пространство
- •§3. Аффинная система координат
- •§4. -Мерные плоскости
- •§5. Уравнения -мерных плоскостей
- •§6. Определение некоторых фигур аффинного пространства
- •Лекция 2.-мерное евклидово (точечное) пространство §7. Евклидово векторное пространство
- •§8. Евклидово -мерное точечное пространство
- •Раздел VI. Проективная геометрия Лекция 1.Проективное n-мерное пространство. Модели проективной прямой и плоскости
- •§1. Центральное проектирование. Предмет проективной геометрии
- •§2. Аксиоматическое определение проективного пространства. Модели проективной прямой и проективной плоскости
- •Лекция 2. Проективные реперы на прямой и плоскости. Уравнение прямой на проективной плоскости §3. Проективные координаты
- •§4. Однородные аффинные координаты
- •§5. Уравнение прямой на проективной плоскости
- •Лекция 3. Принцип двойственности. Теорема Дезарга §6. Принцип двойственности. Теорема Дезарга
- •Лекция 4. Сложные отношения точек и прямых. Гармонические четверки точек и прямых в полном четырехвершиннике §7. Сложное отношение четырех точек прямой
- •§8. Сложное отношение четырех прямых пучка
- •§9. Гармонические четверки
- •Лекция 5. Проективные отображения. Проективные преобразования. Предмет проективной геометрии §10. Проективные преобразования плоскости
- •§11. Проективные отображения прямых и пучков
- •Лекция 6. Квадрики на проективной плоскости. Полюсы и поляры §12. Линии второго порядка на проективной плоскости
- •§13. Полюсы и поляры. Поляритет
- •§14. Классификация линий второго порядка на проективной плоскости
- •§15. Овальные линии второго порядка
- •Лекция 7. Аффинная и евклидова геометрии с проективной точки зрения §16. Проективная модель аффинной плоскости
- •§17. Проективная модель евклидовой плоскости
- •Раздел VII. Топология Лекция 1. Топологическое пространство. Индуцированная топология. Топологические подпространства §1. Метрические пространства
- •§2. Определение и примеры топологических пространств
- •§3. Индуцированная топология. Топологическое подпространство
- •§4. Замкнутые множества
- •§5. Окрестности. Типы точек. Замыкание
- •Лекция 2. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы. Предмет топологии. Связность и компактность как основные инварианты топологического пространства §6. Непрерывность и гомеоморфизм
- •§7. Примеры топологических инвариантов
- •Лекция 3. Замкнутые поверхности в трехмерном пространстве и их классификация §8. Понятие поверхности. Замкнутые поверхности
- •§9. Ориентируемость поверхности. Эйлерова характеристика
- •§10. Топологические свойства проективной плоскости
- •Литература
§9. Ориентируемость поверхности. Эйлерова характеристика
Основными топологическими инвариантами замкнутой поверхности являются эйлерова характеристика и ориентируемость.
Множество точек, гомеоморфное простому многоугольнику, является простой поверхностью и называется клеткой.
Поверхность разбита на клетки , еслии две различные клетки либо не имеют общих точек, либо имеют общую вершину, либо имеют общую сторону.
Например, грани тетраэдра образуют клеточное разбиение поверхности тетраэдра.
В топологии доказывается, что всякая двумерная компактная поверхность может быть разбита на конечное число клеток и это разбиение можно осуществить многими способами.
Пусть поверхность разбита на клетки. Обозначим– число вершин,– число сторон,– число клеток клеточного разбиения.
Число называетсяэйлеровой характеристикой поверхности .
Т е о р е м а 1. Эйлерова характеристика не зависит от клеточного разбиения поверхности.
Т е о р е м а 2. Эйлерова характеристика поверхности является топологическим инвариантом.
Т е о р е м а 3. Если поверхность получена склеиванием поверхностей, то её эйлерова характеристика равна сумме эйлеровых характеристик склеиваемых поверхностей.
У п р а ж н е н и е. Вычислить эйлерову характеристику тетраэдра, сферы, ручки, листа Мебиуса, сферы с дыркой, сферы с дырками, сферы с ручками, сферы с листами Мебиуса.
Клетка называется ориентированной, если указан порядок обхода её сторон.
Если в ориентации двух клеток общая сторона получает противоположную ориентацию. То говорят, что клетки ориентированы одинаково.
Поверхность называется ориентируемой (двусторонней) если существует клеточное разбиение поверхности, в котором все клетки можно одинаково ориентировать. В противном случае поверхность называется неориентируемой (односторонней).
Т е о р е м а 4. Ориентируемость поверхности не зависит от способа её клеточного рабиения.
Т е о р е м а 5. Ориентируемость поверхности является топологическим инвариантом.
Тетраэдр, сфера, ручка – ориентируемые поверхности.
Лист Мёбиуса – неориентируемая поверхность.
Т е о р е м а 6. Две замкнутые поверхности гомеоморфны тогда и только тогда, когда они обе ориентируемы или неориентируемы и их эйлеровы характеристики равны.
§10. Топологические свойства проективной плоскости
Пусть – полусфера с краем. Склеивая пары диаметрально противоположных точек края, получим замкнутую поверхность, являющуюся моделью проективной плоскости.
Полуокружность большого круга с отождествленными концами играет роль прямой на проективной плоскости.
Очевидно, что является связным множеством (сравните с аналогичной ситуацией на евклидовой плоскости).
Разобьем полусферу с краем на три поверхности с помощью двух параллельных плоскостей. Две из этих поверхностей гомеоморфны полукругу, а одна гомеоморфна прямоугольнику. Отождествление диаметрально противоположных точек края первых двух поверхностей дает поверхность, гомеоморфную сфере с дыркой. Отождествление даметральнопротивоположных точек третьей поверхности дает поверхность, гомеоморфную листу Мебиуса. Таким образом, проективная плоскостьгомеоморфна сфере с листом Мебиуса, а значитнеориентируема и.