Лекция 2. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы. Предмет топологии. Связность и компактность как основные инварианты топологического пространства §6. Непрерывность и гомеоморфизм

Пусть – топологические пространства.

О п р е д е л е н и е. Отображение называетсянепрерывным в точке , если для любой окрестности точкисуществует окрестность, образ которой содержится.

О п р е д е л е н и е. Отображение называетсянепрерывным, если оно непрерывно в любой точке .

Пример. Для множеств и, совпадающих с числовой прямойс естественной топологией, отображениеявляется непрерывным, а отображениене является непрерывным.

Т е о р е м а. (критерий непрерывности отображения). Отображение является непрерывным тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого вмножества является открытым в.

Отображение топологического пространствав топологическое пространствоназываетсягомеоморфизмом (топологическим отображением), если – биекция и– непрерывные отображения.

Примерами топологических отображений являются:

1. Тождественное отбражение топологического пространства на себя.

2. В евклидовом пространстве с естественной топологие любое растяжение, сжатие без разрывов и склеиваний.

Однако невозможность деформации, переводящей одно пространство в другое, еще не означает, что два пространства не гомеоморфны. Чтобы решить эту проблему, надо иметь перечень свойств, которые сохраняются при любых гомеоморфизмах – топологические инварианты. Согласно Эрлангенской программе Клейна, топология исследует свойства фигур, инвариантные при любых гомеоморфизмах.

§7. Примеры топологических инвариантов

Открытым покрытием пространства называется семействооткрытых множеств таких, что их объединение совпадает с:.

Топологическое пространство называется компактным, если оно удовлетворяет аксиоме Бореля-Лебега: из любого его открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

Множество называется компактным, если оно является компактным топологическим пространством относительно индуцированной топологии.

Например, в евклидовом пространстве с естественной топологией любое ограниченное и замкнутое множество является компактным.

Т е о р е м а. Непрерывный образ компактного топологического пространства компактен.

С л е д с т в и е. Компактность – топологический инвариант.

Топологическое пространство называется связным, если его нельзя представить как объединение двух непустых непересекающихся открытых множеств.

Множество называется связным, если оно является связным топологическим пространством относительно индуцированной топологии.

Т е о р е м а . Непрерывный образ связного топологического пространства является связным топологическим пространством.

Сл е д с т в и е. Свойство топологического пространства быть связным является топологическим инвариантом.

Лекция 3. Замкнутые поверхности в трехмерном пространстве и их классификация §8. Понятие поверхности. Замкнутые поверхности

Пусть – евклидово пространство с естественной топологией.

Элементарной поверхностью называется множество точек пространства, гомеоморфное открытому кругу, открытому полукругу или кругу.

Примерами элементарных поверхностей являются полусфера без экватора или с экватором, полуплоскость, плоскость, эллиптический параболоид, паработлический цилиндр.

Сфера, эллиптический цилиндр, двуполостный гиперболоид не являются элементарными поверхностями.

Простой поверхностью называется связное множество, каждая точка которого имеет окрестность, являющуюся элементарной поверхностью.

Любая элементарная поверхность, сфера, эллипсоид, однополостный гиперболоид, эллиптический цилиндр, тор являются примерами простой поверхности.

Двуполостный гипеболоид, гиперболический цилиндр не являются простыми поверхностями.

Множество точек простой поверхности, любая сколь угодно малая окрестность которых гомеоморфна открытому полукругу, называется краем поверхности.

Примерами поверхностей с краем являются

1. ручка; её край гомеоморфен двум окружностям;

2. лист Мебиуса; его край гомеоморфен окружности.

Простая поверхность называется замкнутой, если она без края и компактна, то есть, ограничена и замкнута.

Например, параболический цилиндр не является замкнутой поверхностью, так как это некомпактное множество (не является ограниченным); лист Мебиуса компактное множество, но имеет край, значит, не является замкнутой поверхностью.

Сфера, эллипсоид, тор, сфера с ручками, сфера с листами Мебиуса, поверхность многогранника – примеры замкнутых поверхностей.