Лекция 6. Квадрики на проективной плоскости. Полюсы и поляры §12. Линии второго порядка на проективной плоскости

Пусть на проективной плоскости задан проективный репер , тогда любая точка плоскости имеет координаты– ненулевую тройку действительных чисел, которые определяются с точностью до общего ненулевого множителя.

Для большей общности результатов дальнейших исследований в качестве координат будем использовать комплексные числа и введем так называемые вещественные и мнимые точки. Точка будет вещественной, если тройка чисел ее координаты, может быть приведена к действительным числам умножением на какое-то комплексное число, отличное от нуля; в противном случае точка будет мнимой. Например, точки будут вещественными, а точкамнимой.

Две точки называются комплексно-сопряженными, если их координаты могут быть приведены к такому виду, что соответствующие координаты точек будут сопряженными комплексными числами.

Линией (кривой) второго порядка на проективной плоскости называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют однородному уравнению второго порядка, то есть уравнению вида:

Пользуясь правилом суммирования Эйнштейна, это уравнение можно записать в виде

, (1)

где − действительные числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля, и.

Используя формулы преобразования координат при переходе от одного репера к другому, несложно доказать, что понятие линии второго порядка не зависит от выбора репера .

Вопрос о взаимном расположении линии второго порядка и прямой, проходящей через точкии, сводится к рассмотрению системы уравнений

где .

Приходим к квадратному уравнению

(2)

Возможны случаи:

а) , то есть. Тогда(в противном случае λ=0, что противоречит условию).

Решив уравнение (2) относительно , найдем два значения, которым соответствуют две точки пересечения прямойAB и Q (две действительные различные, две действительные совпавшие или две мнимые комплексно-сопряженные).

б) , то естьи, но.

Из (2) следует λμ=0. Отсюда получаем два решения:

λ=0, μ, то есть, и λ0, μ=0 то есть.

Таким образом, точки и, и только они принадлежат.

в) . В этом случае (2) становится тождеством. Значит, любая точка прямойлежит на, то есть прямаяявляется частью линии.

Выберем репер так, чтобы. Тогда прямаябудет иметь уравнение. Для любой точкипрямой, в частности для точек, координаты удовлетворяют уравнению. Получаеми уравнениеимеет вид

или

.

Имеем пару линейных однородных уравнений

и .

Таким образом, в этом случае распадается на пару прямых.

Итак, на проективной плоскости прямая и линия второго порядка либо имеют две общие точки, либо прямая является частью линии второго порядка и тогда линия распадается на пару прямых. В дальнейшем мы не будем рассматривать кривые, распавшиеся на пару прямых.

Прямая называется касательной к линии второго порядка, если она пересекает линию в двух совпавших точках.

Найдем уравнение касательной в точке линии. Пусть− точка касательной, тогда. Так как, то уравнение, определяющее параметры λ и μ точек пересечения прямой с линией, примет вид

. (3)

Точка соответствует значениям параметров μ=0,.

Вторая точка пересечения исовпадает с, то есть вторая пара значений параметров λ и μ должна быть такой же. А это возможно только тогда, когда

. (4)

Точка , координаты которой удовлетворяют системе уравнений

, (5)

называется особой точкой линии .

Для особой точки уравнение (4) становится тождеством, следовательно, в особой точке нет определенной касательной к кривой.

Если кривая имеет особую точку, то она называется вырожденной. Позже мы покажем, что это будет пара прямых.

Когда и сколько особых точек имеет линия второго порядка?

Если , то система (5) трех линейных однородных уравнений имеет только нулевое решение. Следовательно,не имеет особых точек.

Если , то система (5) имеет единственное независимое решение, то естьимеет единственную особую точку.

Если , то имеем прямую особых точек.

Если − не особая точка линии, то в ней существует единственная касательная к линии, её уравнение

.