Лекция 7. Аффинная и евклидова геометрии с проективной точки зрения §16. Проективная модель аффинной плоскости

На проективной плоскости P, порождаемой ненулевыми векторами трехмерного векторного пространства V, рассмотрим прямую , точки которой порождаются ненулевыми векторами двумерного векторного подпространства W.

Покажем, что множество точек проективной плоскости, за исключением точек прямой, является аффинной плоскостью.

Выберем на проективной плоскости репер так, что, то есть прямаязадается уравнением. Тогда для всех точекмножествакоординатаотлична от нуля, а значит, каждый ненулевой вектор изимеет первую координату(эти векторы порождают точки из). Условимся нормировать векторы изтак, чтобы их первая координата была равна 1. То есть в качестве вектора, порождающего точку, будем брать тот из коллинеарных векторов, для которого.

Для любых двух точек иизимеем. Обозначим. Имеем отображение, которое, как легко заметить, удовлетворяет аксиомам Вейля аффинного пространства:

Таким образом, − двумерное аффинное пространство −проективная модель аффинной плоскости.

Чтобы от перейти к расширенной плоскости, то есть получить проективную плоскость, надо присоединить кпрямую. Поэтому естественно назвать прямуюнесобственной прямой.

Рассмотрим некоторые понятия аффинной геометрии на построенной модели аффинной плоскости.

Для произвольной проективной прямой имеем. Для любых трех точеки, принадлежащих множеству, имеем. Причем, так как из векторов, порождающих точки из, мы используем те, у которых первые координаты равны 1.

Таким образом, , то есть, если точкипринадлежат, то векторыиколлинеарны. Естественно множествоназватьаффинной прямой на плоскости , а точку−несобственной точкой этой прямой.

Две проективные прямые и, пересекающиеся в одной точке на прямой, определяютпараллельные прямые на плоскости .

Для любых трех точек аффинной прямой имеем. Числоназовем простым отношением трех точек прямой . Так как , то, то есть.

Учитывая, что ,, находим

.

.

Таким образом, , где− несобственная точка прямой.

Будем говорить, что точка лежит между точками и, если. С помощью понятия «лежать между» определяютсяотрезок, луч, угол. Точку назовемсерединой отрезка , если, где.

У п р а ж н е н и е. На проективной модели аффинной плоскости построить отрезок, его середину, луч, угол, треугольник, параллелограмм.

Пусть на проективной плоскости линия второго порядка задается уравнением. Для точек множестваимеем:, поэтому уравнение множестваимеет вид:

.

Это обычное уравнение линии второго порядка на аффинной плоскости, поэтому множество назовемлинией второго порядка на проективной модели аффинной плоскости .

Центром кривой назовем полюс несобственной прямой относительно линии. Пусть− центр линии. Если проективная прямаяпроходит через точкуи пересекаетв точкахи, а прямуюв точке, то. То естьи точка− центр линии, является серединой проходящих через него хорд.

Для точки поляра относительно линиизадается уравнением. Точкаявляется центром линиитогда и только тогда, когда полярой точкиотносительно линииявляется прямая, задаваемая уравнением. Таким образом, получаем систему уравнений, которым должны удовлетворять координаты центра линии:

(*)

Система (*) имеет решение вида , то есть− центр кривойявляется несобственной точкой, тогда и только тогда, когда. В этом случае кривуюпроективной плоскости назовемкривой типа параболы.

Если , тоимеет центром собственную точку, которая определяется однозначно. Такие кривыена проективной модели аффинной плоскости называютсяцентральными кривыми.

Если , тоне имеет собщих вещественных точек и называетсякривой типа эллипса.

Если , тоимеет сдве различные вещественные точки и называетсякривой типа гиперболы.

Если овальная кривая типа эллипса (гиперболы, параболы), тоназываетсяэллипсом (гиперболой, параболой) на проективной модели аффинной плоскости.

Диаметром линии второго порядка на проективной модели аффинной плоскости назовем поляру любой несобственной точки.

По свойству взаимности поляритета получаем, что все диаметры линии проходят через её центр.

Можно показать, что группа всех проективных преобразований проективной плоскости, переводящих прямуюв себя, изоморфна группе аффинных преобразований аффинной плоскости. То есть, с групповой точки зрения Ф. Клейна, группесоответствует аффинная геометрия.