- •§2. -Мерное аффинное пространство
- •§3. Аффинная система координат
- •§4. -Мерные плоскости
- •§5. Уравнения -мерных плоскостей
- •§6. Определение некоторых фигур аффинного пространства
- •Лекция 2.-мерное евклидово (точечное) пространство §7. Евклидово векторное пространство
- •§8. Евклидово -мерное точечное пространство
- •Раздел VI. Проективная геометрия Лекция 1.Проективное n-мерное пространство. Модели проективной прямой и плоскости
- •§1. Центральное проектирование. Предмет проективной геометрии
- •§2. Аксиоматическое определение проективного пространства. Модели проективной прямой и проективной плоскости
- •Лекция 2. Проективные реперы на прямой и плоскости. Уравнение прямой на проективной плоскости §3. Проективные координаты
- •§4. Однородные аффинные координаты
- •§5. Уравнение прямой на проективной плоскости
- •Лекция 3. Принцип двойственности. Теорема Дезарга §6. Принцип двойственности. Теорема Дезарга
- •Лекция 4. Сложные отношения точек и прямых. Гармонические четверки точек и прямых в полном четырехвершиннике §7. Сложное отношение четырех точек прямой
- •§8. Сложное отношение четырех прямых пучка
- •§9. Гармонические четверки
- •Лекция 5. Проективные отображения. Проективные преобразования. Предмет проективной геометрии §10. Проективные преобразования плоскости
- •§11. Проективные отображения прямых и пучков
- •Лекция 6. Квадрики на проективной плоскости. Полюсы и поляры §12. Линии второго порядка на проективной плоскости
- •§13. Полюсы и поляры. Поляритет
- •§14. Классификация линий второго порядка на проективной плоскости
- •§15. Овальные линии второго порядка
- •Лекция 7. Аффинная и евклидова геометрии с проективной точки зрения §16. Проективная модель аффинной плоскости
- •§17. Проективная модель евклидовой плоскости
- •Раздел VII. Топология Лекция 1. Топологическое пространство. Индуцированная топология. Топологические подпространства §1. Метрические пространства
- •§2. Определение и примеры топологических пространств
- •§3. Индуцированная топология. Топологическое подпространство
- •§4. Замкнутые множества
- •§5. Окрестности. Типы точек. Замыкание
- •Лекция 2. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы. Предмет топологии. Связность и компактность как основные инварианты топологического пространства §6. Непрерывность и гомеоморфизм
- •§7. Примеры топологических инвариантов
- •Лекция 3. Замкнутые поверхности в трехмерном пространстве и их классификация §8. Понятие поверхности. Замкнутые поверхности
- •§9. Ориентируемость поверхности. Эйлерова характеристика
- •§10. Топологические свойства проективной плоскости
- •Литература
§2. Аксиоматическое определение проективного пространства. Модели проективной прямой и проективной плоскости
Пусть – -мерное векторное пространство над полемR действительных чисел.
Непустое множество P называется проективным -мерным пространством над полемR, если задано отображение P множества ненулевых векторов пространства во множествоP, удовлетворяющее условиям:
сюръективно, то есть P.
.
Элементы множества P называются точками.
Если , то говорят, чтовектор порождает точку . Таким образом, каждая точка проективного пространства порождается ненулевым вектором и два вектора порождают одну и ту же точку тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
Заметим, что P=, то есть точки проективной прямой порождаются ненулевыми векторами двумерного векторного пространства, точки проективной плоскости – ненулевыми векторами трехмерного векторного пространства.
Приведем примеры (модели) проективной прямой.
Пример 1. Рассмотрим евклидову плоскость с пространством переносов,.
Рассмотрим П− пучок прямых на евклидовой плоскости. Несложно заметить, что отображениеП, которое каждому ненулевому векторуставит в соответствие прямую пучка, параллельную этому вектору, удовлетворяет аксиомам 1-2 проективного пространства. Таким образом, пучок прямых на плоскости является примером проективной прямой.
Пример 2. Другим примером проективной прямой является расширенная прямая . Выбрав точку, не принадлежащую прямой, можно с помощью пучка Попределить отображение, удовлетворяющее аксиомам 1-2 проективного пространства
Пример 3. Аналогично, с помощью пучка прямых Пможно показать, что множество всех пар диаметрально противоположных точек окружности с центромявляется примером проективной прямой.
Для построения примеров проективной плоскости рассмотрим евклидово пространство с пространством переносов,.
Несложно показать, что связка прямых , расширенная плоскость, множество всех пар диаметрально противоположных точек сферы являются примерами проективной плоскости. Роль прямой в этих моделях будут играть, соответственно, пучок прямых, расширенная прямая и множество всех пар диаметрально противоположных точек большой окружности сферы.
Отметим, что рассмотренные модели проективной плоскости (прямой) являются изоморфными. То есть между ними можно установить взаимно однозначные соответствия так, что будет сохраняться принадлежность точек прямым. То есть эти модели, с точки зрения геометрии, устроены одинаково и отличаются лишь природой своих элементов, которая для математики не существенна. Таким образом, для решения различных вопросов можно пользоваться удобными моделями.
Из определения проективного пространства вытекают простейшие свойства проективной плоскости
Через любые две точки проективной плоскости проходит единственная проективная прямая.
Любые две прямые проективной плоскости пересекаются.
На проективной прямой существуют три различные точки (точки общего положения).
На проективной плоскости существуют, по крайней мере, 7 точек.
На проективной плоскости существуют три неколлинеарные точки.
На проективной плоскости существуют четыре точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой (точки общего положения).