Лекция 5. Проективные отображения. Проективные преобразования. Предмет проективной геометрии §10. Проективные преобразования плоскости

Преобразование проективной плоскости называется проективным, если оно сохраняет коллинеарность точек и сложное отношение любой четверки коллинеарных точек.

Л е м м а 1. Пусть на проективной плоскости заданы два репера и . Отображение, которое каждой точке с заданными координатами в репере ставит в соответствие точку с теми же координатами в репере , является проективным преобразованием.

Л е м м а 2. Если два проективных преобразования три точки некоторой прямой переводят в одни и те же точки, то и любую точку этой прямой они переводят в одну и ту же точку.

Т е о р е м а 1. Для двух заданных реперов и существует единственное проективное преобразование плоскости, которое репер переводит в репер. При этом точка с заданными координатами в репере переходит в точку с теми же координатами в репере.

Из теоремы 1 можно получить следующие свойства проективных преобразований.

1. Проективное преобразование плоскости неколлинеарные точки переводит в неколлинеарные точки.

2. Проективное преобразование плоскости репер переводит в репер.

3. Проективное преобразование плоскости прямую переводит в прямую.

4. Проективное преобразование плоскости пучок прямых переводит в пучок прямых.

Т е о р е м а 2. Множество всех преобразований проективной плоскости является группой.

Доказательство осуществляется непосредственно по определению группы.

Т е о р е м а 3. Множество всех проективных преобразований плоскости является группой.

Для доказательства можно применить признак подгруппы.

Две фигуры называются проективно эквивалентными, если существует проективное преобразование, переводящее одну фигуру в другую. Примерами проективно эквивалентных фигур являются любые две прямые, любые два пучка прямых или два проективных репера.

Согласно теоретико-групповому определению предмета геометрии, сформулированному Ф. Клейном в Эрлангенской программе:

Проективная геометрия изучает такие свойства фигур, которые сохраняются при любых проективных преобразованиях.

Проективными понятиями являются точка, прямая, репер, сложное отношение четырех точек прямой и четырех прямых пучка, гармоническая четверка точек или прямых.

§11. Проективные отображения прямых и пучков

Биективное отображение прямой на прямую, сохраняющее сложное отношение четырех точек, называется проективным отображением.

Т е о р е м а 1. (О задании проективного отображения парой соответствующих реперов). Если ипроективные реперы на прямых и , то существует единственное проективное отображение прямойна прямую, которое реперпереводит в.

Отображение , которое каждой точке прямой с заданными координатами в репере ставит в соответствие точку прямойс теми же координатами в репере, будет проективным отображением, переводящим реперв репер.

Пусть проективное отображение так же переводит реперв. Тогда для произвольной точкипрямой имеем

Так как для трех точек прямой существует единственная точка, что сложное отношение равно заданному числу, то точки и совпадают, а значит, совпадают отображенияи.

Таким образом, чтобы задать проективное отображение прямой на прямую, достаточно указать три пары соответствующих точек.

Из свойств перспективного отображения прямой на прямую, следует, что перспективное отображение является примером проективного отображения.

Очевидно, что не всякое проективное отображение прямой на прямую является перспективным.

Т е о р е м а 2. (Признак перспективности проективного отображения). Проективное отображение прямой на прямую является перспективным тогда и только тогда, когда точка пересечения этих прямых переходит сама в себя.

З а д а ч а 1. Проективное отображение прямой на прямую задано тремя парами соответствующих точек. Построить образ произвольной точки прямой .

У п р а ж н е н и е. Используя принцип двойственности, дать определение проективного отображения пучка на пучок, сформулировать теорему о задании проективного отображения пучка на пучок, признак перспективности проективного отображения пучка на пучок, построить образ произвольной прямой пучка при проективном отображении, заданном тремя парами соответствующих прямых.

Проективное отображение прямой на себя называется проективным преобразованием прямой.

Т е о р е м а 3. Проективное преобразование прямой, отличное от тождественного, не может иметь более двух неподвижных точек.

Доказательство легко осуществляется методом от противного.

У п р а ж н е н и е. Проективное преобразование прямойзадано тремя парами соответствующих точек. Построить образ произвольной точки прямой.

Указание. Преобразование можно разложить в композицию перспективного отображенияпрямойна произвольную прямуюс центром, при котором,,и проективного отображения прямойна прямую, определяемого тремя парами соответствующих точек. Последнее проективное отображение, в свою очередь, можно разложить в композицию двух перспективных отображений. Образ любой точки прямойпри преобразовании легко найти.

Преобразование прямой, отличное от тождественного и совпадающее с обратным преобразованием, называется инволюцией.

Если инволюция, то для любой точкипрямой и , то есть множество всех точек прямой разбивается на пары соответствующих друг другу точек.

Т е о р е м а 4. (Признак инволюции). Если проективное преобразование прямой переводит в , а в и , то − инволюция.

Для доказательства достаточно показать, что для любой точки прямой:и .

Т е о р е м а 5. Любая инволюция либо не имеет ни одной неподвижной точки, либо имеет ровно две неподвижные точки.

Доказательство. Достаточно показать, что если инволюция имеет неподвижную точку, то она имеет еще одну неподвижную точку.

Пусть неподвижная точка инволюции, то есть , и ,− пара соответствующих точек при инволюции. Для трех точексуществует единственная точка, что

. (*)

Пусть . Тогдаили . Учитывая (*), получим , то есть─ еще одна неподвижная точка.

Инволюция, не имеющая неподвижных точек, называется эллиптической.

Инволюция, имеющая две неподвижные точки, называется гиперболической.

Из условия (*) следует, что пара неподвижных точек гиперболической инволюции гармонически разделяет любую пару соответствующих точек.