- •§2. Уравнение плоскости
- •§3. Условие параллельности плоскости и вектора
- •§4. Взаимное расположение двух плоскостей
- •§5. Геометрический смысл знака четырехчлена плоскости
- •§6. Расстояние от точки до плоскости
- •Лекция 2. Прямая в пространстве §7. Уравнение прямой в пространстве
- •§8. Взаимное расположение прямых. Расстояние между прямыми в пространстве
- •Лекция 3 - 4. Поверхности второго порядка в пространстве §9. Поверхности второго порядка. Метод сечений
- •§10. Цилиндрические поверхности
- •§11. Конические поверхности второго порядка. Конические сечения
- •§12. Поверхности вращения
- •§13. Сжатие пространства к плоскости
- •§14. Эллипсоид
- •§15. Гиперболоиды
- •§16. Параболоиды
- •§17. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка
- •Раздел IV. Геометрические преобразования плоскости и пространства Лекция 1. Отображения, виды отображений
- •§1. Отображение и преобразование множеств
- •§2. Группа преобразований плоскости
- •Лекция 2. Движения плоскости, их геометрические свойства §3. Движения плоскости, их свойства
- •§4. Формулы движений
- •§5. Примеры движений
- •Лекция 3. Классификация движений плоскости §6. Теорема Шаля
- •Лекция 4. Подобия плоскости, их геометрические свойства. Классификация подобий §7. Гомотетия как пример преобразования подобия
- •§8. Свойства подобий
- •Лекция 5. Аффинные преобразования плоскости, их геометрические свойства §9. Аффинные преобразования, их свойства
- •§10. Перспективно-аффинные преобразования
- •§11. Группа аффинных преобразований, её подгруппы. Эрлангенская программа ф. Клейна
- •Лекция 6. Движения пространства, их классификация §12. Движения пространства
- •Литература
Лекция 6. Движения пространства, их классификация §12. Движения пространства
По аналогии с плоскостью определим движения пространства.
О п р е д е л е н и е. Параллельным переносом на вектор называется отображение пространства в себя, при котором каждой точкеставится в соответствие точкатакая, что.
Докажите, что параллельный перенос является преобразованием пространства.
Найдите формулы параллельного переноса, покажите, что параллельный перенос является движением первого рода. Определите неподвижные точки и неподвижные прямые при параллельном переносе.
О п р е д е л е н и е. Поворотом вокруг прямойна угол называется отображение пространства в себя, при котором каждой точке ставится в соответствие точка, полученная в результате поворотаплоскости, проходящей через точкуперпендикулярно прямойи пересекающейв точке.
Найдите формулы поворота вокруг оси аппликат прямоугольной системы координат. Покажите, что поворот вокруг прямой является движением первого рода. Определите неподвижные точки и неподвижные прямые этого преобразования.
О п р е д е л е н и е. Винтовым движением называется композиция поворота вокруг прямой и параллельного переноса на вектор, параллельный оси поворота: .
Сравнив число неподвижных точек и прямых, можно сделать вывод, что винтовое движение является движением первого рода, отличным от параллельного переноса и поворота вокруг прямой.
О п р е д е л е н и е. Отражением от плоскости называется отображение пространства в себя, при котором каждой точке пространства ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно.
Точки симметричные относительно плоскости определяются аналогично точкам, симметричным относительно прямой.
Найдите формулы отражения относительно плоскости прямоугольной системы координат. Покажите, что отражение от плоскости является движением второго рода. Определите неподвижные точки и неподвижные прямые этого преобразования.
О п р е д е л е н и е. Скользящим отражением называется композиция отражения от плоскости и параллельного переноса на вектор, параллельный этой плоскости: .
Сравнив число неподвижных точек и прямых, можно сделать вывод, что скользящее отражение является движением второго рода, отличным от отражения от плоскости.
О п р е д е л е н и е. Поворотным отражением называется композиция отражения от плоскости и поворота вокруг прямой, перпендикулярной этой плоскости: .
Сравнив число неподвижных точек и прямых, можно сделать вывод, что поворотное отражение является движением второго рода, отличным от отражения от плоскости и от скользящего отражения.
Можно показать, что других движений пространства не существует.
По аналогии с плоскостью можно показать, что
Композиция отражений от двух пересекающихся плоскостей есть поворот вокруг пересечения плоскостей, на угол, равный удвоенному углу между плоскостями.
Композиция отражений от двух параллельных плоскостей есть параллельный перенос на вектор, ортогональный плоскостям, длина которого равна удвоенному расстоянию между плоскостями.
Всякое движение пространства является композицией не более четырех отражений от плоскотей.
Представьте каждое из шести движений пространства в виде композиции отражений от плоскостей.