§4. Формулы движений

Пусть – движение плоскости. Задав на плоскости прямоугольную систему координат, сможем найтиформулы движения : это формулы, выражающие координаты точкичерез координатыточки– прообраза точки.

Пусть при движении ортонормированный реперпереходит в ортонормированный репер. Тогда по теореме 2 о задании движения парой ортонормированных реперов следуент, чтоимеет координатыв репере.

Рассматривая икак старую и новую системы координат, получаем, что точкаимеет соответственно старые координатыотносительно репераи новые координатыотносительно репера. Используя формулы преобразования координат при переходе от одной системы координат к другой, получим

(*),

где , еслииодинаково ориентированы, то есть– движение первого рода, и, еслиипротивоположно ориентированы, то есть– движение второго рода.

Формулы (*) это и есть формулы движения. Можно заметить, что матрица, составленная из коэффициентов при ив этих формулах, являетсяортогональной (сумма квадратов элементов одного и того же столбца равна 1, а сумма произведений соответствующих элементов разных столбцов равна 0); определитель этой матрицы равен 1 в случае движения первого рода и равен -1 в случае движения второго рода.

Имеет место следующая теорема

Т е о р е м а 3. (об аналитическом задании движения) Пусть – ортонормированный репер. Формулы

(**),

где – ортогональная матрица, определяют движение первого рода, если определительэтой матрицы равен 1 и второго рода, если определитель этой матрицы равен -1.

При доказательстве этой теоремы следует обосновать три момента:

1. Формулы действительно задают преобразование плоскости (проверить биективность).

2. Преобразование сохраняет расстояния (вычисляя расстояние между точкамии, использовать формулы (**) и условие ортогональности матрицы, составленной из коэффициентов, показать, что).

3. Показать, что реперы иодинаково ориентированы, то естьявляется движением первого рода, еслии противоположно ориентированы, то есть– движение второго рода, если. Для этого, используя формулы (**) нужно найти координаты точекобразов точек, определяющих репер. Далее найти координаты векторовии убедиться, что матрица перехода от базисак базисуимеет вид. Знак определителя этой матрицы характеризует одинаковость ориентации этих базисов, а значит и реперови.

§5. Примеры движений

У п р а ж н е н и е 1. Найти формулы параллельного переноса. Доказать, что праллельный перенос является движением первого рода. Определить неподвижные точки и неподвижные прямые при параллельном переносе. Доказать, что множество всех праллельных перносов является группой.

У п р а ж н е н и е 2. Поворотом плоскости вокруг точкина угол называется отображение плоскости в себя, при котором точка переходит сама в себя, любая другая точкаплоскости переходит в точкутакую, что расстоянияиравны и уголравен.

Задав на плоскости прямоугольную систему координат , выразите косинус и синус углачерез косинусы и синусы углови, образованных векторамиис вектором. Далее выразите косинусы и синусы угловичерез координаты точеки. Убедитесь, что

, , где.

Решая систему относительнои, получимформулы поворота вокруг начала координат: .

Убедиться, что поворот вокруг точки является движением первого рода. Определить неподвижные точки при повороте. Выяснить, что представляет собой поворот на угол . Доказать, что множество всех поворотов с общим центром является группой. Найти формулы поворота вокруг точки.

У п р а ж н е н и е 3. Осевой симметрией с осью называется отображение плоскости в себя, при котором каждой точке плоскости ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно прямой.

Напомним, что каждая точка прямой симметрична сама себе. Точка, не лежащая на прямой, и симметричная ей точка определяют отрезок, перпендикулярный прмой, середина которого лежит на прямой.

Найдите формулы симметрии относительно оси , убедитесь, что осевая симметрия является примером движения второго рода. Найдите неподвижные точки, неподвижные прямые при осевой симметрии. Выясните, что представляет собой композиция двух осевых симметрий с параллельными осями, с пересекающимися осями.

У п р а ж н е н и е 4. Скользящей симметрией называется композиция осевой симметрии и параллельного переноса на вектор, параллельный оси симметрии: .

Показать, что скользящая симметрия является движением второго рода, отличным от осевой симметрии.

Определить неподвижные точки и неподвижные прямые при скользящей симметрии.