§17. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка

Прямая называетсяпрямолинейной образующей поверхности Ф, если каждая точка этой прямой принадлежит поверхности Ф.

1. Образующие цилиндрической и конической поверхностей являются их прямолинейными образующими.

2. Так как все точки эллипсоида находятся внутри параллелепипеда, то эллипсоид не имеет прямолинейных образующих.

3. Покажите, что двуполостный гиперболоид и эллиптический параболоид не имеют прямолинейных образующих.

4. Представив уравнение однополостного гиперболоида в виде

,

несложно заметить, что для каждого действительного числа каждая из прямых, определяемых уравнениями

,

целиком лежат на однополостном гиперболоиде, а значит, является прямолинейной образующей.

Таким образом, на однополостном гиперболоиде имеем два семейства прямолинейных образующих, обладающие свойствами:

1. Через каждую точку поверхности проходит в точности по одной прямолинейной образующей из каждого семейства.

2. Две прямолинейные образующие одного семейства скрещиваются.

3. Две прямолинейные образующие разных семейств лежат в одной плоскости.

5. Аналогично можно показать, что на гиперболическом параболоиде существуют два семейства прямолинейных образующих, обладающие свойствами a-c и свойством

   4. Все прямолинейные образующие одного семейства параллельны одной плоскости.

Раздел IV. Геометрические преобразования плоскости и пространства Лекция 1. Отображения, виды отображений

Раздел преобразования плоскости и пространства является одним из интереснейших и важнейших в курсе геометрии:

• он дает аппарат для доказательства многих теорем и решения задач;

• это материал для внеурочной работы с учащимися;

• теория преобразований позволяет рассматривать с единой точки зрения всё разнообразие геометрических систем.

§1. Отображение и преобразование множеств

Необходимо вспомнить из вводного курса математики определения отображения множества во множество, видов отображений (инъективного, сюръективного, биективного) и их признаки:

1. При инъективном отображении вкаждый элемент изимеет не более одного прообраза.

2. При сюръективном отображении вкаждый элемент изимеет хотя бы один прообраз.

3. При биективном отображении вкаждый элемент изимеет единственный прообраз.

Если отображение является биекцией, то существует обратное ему отображение, при котором, если.

Преобразованием множества называется биективное отображение этого множества в себя.

§2. Группа преобразований плоскости

Пусть – множество всех преобразований плоскости. На этом множестве можно определить бинарную операцию (композицию преобразований ):– преобразование плоскости, представляющее собой последовательное выполнение преобразованийи(порядок выполнения преобразований в записи: справа налево).

Т е о р е м а. Множество всех преобразований плоскости является группой относительно композиции преобразований.

Пусть некоторая подгруппа группы преобразований(вспомнить признак подгруппы).Фигура называется эквивалентной фигуреотносительно группы (), если существует преобразование, что. Можно показать, что эквивалентность фигур относительно группы преобразований является отношением эквивалентности.

Лекция 2. Движения плоскости, их геометрические свойства §3. Движения плоскости, их свойства

Преобразование плоскости, сохраняющее расстояния, называется движением (перемещением) плоскости.

Примеры движений

1. Тождественное преобразование.

2. Параллельный перенос.

Параллельным переносом на вектор называется отображение плоскости в себя, при котором каждой точкеплоскости ставится в соответствие точкатакая, что.

1. Отметим, что параллельный перенос определяется как отображение и, следовательно нужно доказать, что он является преобразованием плоскости (сделайте это самостоятельно).

2. Имеем . Тогдаи, то есть параллельный перенос сохраняет расстояния, а значит является движением плоскости.

3. Центральная симметрия.

Центральной симметрией относительно точки называется отображение плоскости в себя, при котором каждой точкеплоскости ставится в соответствие точкатакая, что.

1. Аналогично нужно показать, что центральная симметрия является преобразованием плоскости.

2. Из условий иполучаем, что. Тогда, то есть центральная симметрия сохраняет расстояния, а значит, является движением плоскости.

Самостоятельно следует рассмотреть доказательство следующих важных теорем

Т е о р е м а 1. При движении образом репера является репер. Образом оротнормированного репера является ортонормированный репер.

Т е о р е м а 2. (о задании движения парой соответствующих ортонормированных реперов) Пусть идва ортонормированных репера. Существует единственное движение плоскости, которое реперпереводит в репер. При этом движении каждая точкас координатамив реперепереходит в точкус теми же координатами в репере.

Теоремы 1-2 позволяют доказать следующие свойства движений:

1. Движение переводит прямую в прямую, праллельные прямые в параллельные прямые.

2. Движение переводит полуплоскость в полуплоскость.

3. Движение сохраняет простое отношение трех точек прямой, а значит сохраняет отношение «лежать между», а значит переводит отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол.

4. Движение переводит угол в равный угол, перпендикулярные прямые в перпендикулярные прямые.

5. Любое движение либо сохраняет ориентацию плоскости (любой репер переводит в одинаково ориентированный с ним репер), либо меняет ориентацию плоскости (любой репер переводит в противоположно ориентированный с ним репер). Отсюда имеем два вида движений: движения I рода (сохраняющие ориентацию плоскости) и движения II рода (меняющие ориентацию плоскости).