Лекция 3. Классификация движений плоскости §6. Теорема Шаля

З а д а ч а 1. Доказать, что композиция двух осевых симметрий с пересекающимися осями есть поворот вокруг точки пресечения на угол в два раза больший, чем угол между осями, и направленный от первой оси ко второй: .

С л е д с т в и е. Любой поворот можно представить в виде композиции осевых симметрий с пересекающимися осями, и таких разложений бесконечно много.

Ответьте на вопрос: «Как выбирать оси таких осевых симметрий?»

З а д а ч а 2. Доказать, что композиция двух осевых симметрий с параллельными осями есть параллельный перенос на вектор, перпендикулярный осям, направленный от первой оси ко второй, длина которого равна удвоенному расстоянию между осями: .

С л е д с т в и е. Любой параллельный перенос можно представить в виде композиции двух осевых симметрий с параллельными осями, и таких разложений бесконечно много.

Ответьте на вопрос: «Как выбирать оси таких осевых симметрий?»

Т е о р е м а 1. (о разложении движения в композицию осевых симметрий). Всякое движение можно представить в виде композиции не более трех осевых симметрий.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Идея доказательства состоит в следующем. Пусть движение плоскости. Выберем произвольный ортонормированный репер. Тогдатак же ортонормированный репер. Почему?

Пара ортонормированных реперов иоднозначно определяет движение. Таким образом, если покажем существование композиции не более трех осевых симметрий, переводящей реперв репер, то эта композиция будет совпадать с движением.

В случае, когда начала реперов совпадают, репер перейдет в реперв результате композиции симметрии относительно серединного перпендикуляра к отрезкуи симметрии относительно прямой.

Если точки ине совпадают, то при симметрии относительно серединного перпендикуляра к отрезкуреперперейдет в репер, имеющий с реперомобщее начало. По предыдущему случаю реперпереходит в реперв результате двух осевых симметрий. Тогда реперперейдет в реперв результате трех осевых симметрий.

Т е о р е м а Ш а л я. Любое движение плоскости является либо параллельным переносом, либо поворотом, либо осевой симметрией, либо скользящей симметрией.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По предыдущей теореме движение можно представить в виде композиции не более трех осевых симметрий. Возможны случаи:

1. 

   1. , тогда ;

   2. , тогда .

2. 

   1. , тогда ;

   2. , тогда ;

   3. , тогда

;

4. , тогда

, где .

Тогда , где. Таким образом,, гдеи, следовательно.

Теорема доказана.

Множество всех движений плоскости является группой относительно композиции преобразований. Подгруппами этой группы являются множество Т всех параллельных переносов, множествовсех движений первого рода.

Фигуры иназываются конгруэнтными, если они эквивалентны относительно группы всех движений плоскости. Примерами конгруэнтных фигур являются два треугольника, соответственные стороны которых равны, два эллипса (две гиперболы), соответственные полуоси которых равны, две параболы, фокальные параметры которых равны.

Лекция 4. Подобия плоскости, их геометрические свойства. Классификация подобий §7. Гомотетия как пример преобразования подобия

О п р е д е л е н и е. Подобием с коэффициентом называется преобразование плоскости, при котором все расстояния умножаются на.

Примеры подобий

1. Любое движение является подобием с коэффициентом .

2. Гомотетией с центорми коэффициентом называется отображение плоскости в себя, при котором каждой точкеставится в соответствие точкатакая, что.

Проверить, что гомотетия является биективным отображением, а значит, является преобразованием плоскости.

Для любых двух точек и их образовпри гомотетии имеем. Тогдаи, то есть гомотетия с коэффициентомявляется подобием с коэффициентом.

Из условия получаемформулы гомотетии

,

позволяющие доказать свойства гомотетии:

1. При гомотетии прямая, не проходящая через центр гомотетии, переходит в параллельную ей прямую, а прямая, проходящая через центр гомотетии – в себя.

2. Гомотетия сохраняет простое отношение трех точек прямой, а значит, сохраняет отношение «лежать между» и отрезок переводит в отрезок, луч в луч, угол в угол.

3. Гомотетия переводит угол в равный угол (Почему?).

4. Гомотетия сохраняет ориентацию плоскости. Для доказательства этого свойства находим по формулам гомотетии координаты точек, определяющих репер – образ реперапри гомотетии. Затем находим координаты базисных векторов репераи убеждаемся, что определитель матрицы перехода от базиса реперак базису репераравен, то есть реперыиодинаково ориентированы.