§10. Цилиндрические поверхности

О п р е д е л е н и е. Пусть в пространстве даны линия и прямая. Поверхность, образованная прямыми, параллельнымии пересекающими, называетсяцилиндрической поверхностью.

–направляющая, прямые – образующие цилиндрической поверхности.

Т е о р е м а. Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат и в плоскостив системе координатзадана линия. Тогда уравнениеопределяет в пространстве цилиндрическую поверхность с направляющейи образующими, параллельными оси.

Если уравнение - уравнение второй степени, то цилиндрическая поверхность с направляющейи образующими, параллельными осиявляетсяцилиндрической поверхностью второго порядка.

В зависимости от того, к какому сорту линий второго порядка относится направляющая, будем иметь:

–эллиптический цилиндр;

–мнимый эллиптический цилиндр;

–гиперболический цилиндр;

–пара мнимых пересекающихся плоскостей;

–пара пересекающихся плоскостей;

–параболический цилиндр;

–пара параллельных плоскостей;

–пара мнимых пересекающихся плоскостей;

–пара совпавших плоскостей.

§11. Конические поверхности второго порядка. Конические сечения

О п р е д е л е н и е. Поверхность, образованная прямыми, проходящими через данную точку и пересекающими данную линию или имеющими относительно этой линии асимптотическое направление, называется конической поверхностью.

Если в качестве направляющей конической поверхности выбрать пару пересекающихся, пару совпавших или пару параллельных прямых и вершину, не принадлежащую плоскости этих прямых, то коническая поверхность будет представлять собой пару пересекающихся, совпавших или параллельных плоскостей (вырожденные конусы).

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат . В плоскости, параллельнойзадан эллипс .

У п р а ж н е н и е. Покажите, что уравнение конической поверхности с вершиной и направляющейбудет иметь вид– уравнениеневырожденного конуса.

Рассматривая сечения невырожденного конуса различными плоскостями, не проходящими через его вершину, можно получить

• эллипс, если плоскость пересекает все образующие конуса;

• гиперболу, если плоскость параллельна двум образующим конуса;

• параболу, если плоскость параллельна только одной образующей конуса.

Эллипс, гипербола, парабола называются коническими сечениями.

Отметим, что любое однородное уравнение второй степени определяет в пространстве коническую поверхность.

§12. Поверхности вращения

О п р е д е л е н и е. Пусть в пространстве даны линия и прямая, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек. Поверхность, образованная вращением линиивокруг прямой, называетсяповерхностью вращения.

Прямая называетсяосью вращения.

Сечения поверхности вращения плоскостями, проходящими через ось вращения, представляют собой линии, равные , и называютсямеридианами.

Сечения поверхности вращения плоскостями, перпендикулярными оси вращения, представляют собой окружности и называются параллелями.

Очевидно, что ось вращения является осью симметрии, а любая плоскость, проходящая через ось вращения, – плоскостью симметрии поверхности вращения.

Т е о р е м а. В прямоугольной системе координат в плоскостив реперезадана линия. Тогда– уравнение поверхности, полученной вращениемвокруг.