§8. Свойства подобий

Т е о р е м а 1. (о разложении подобия в композицию гомотетии и движения) Всякое преоборазование подобия можно представить как композицию гомотетии с тем же коэффициентом и движения.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – подобие с коэффициентом. Если– гомотетия с коэффициентом, то– гомотетия с коэффициентом. Тогда композицияявляется движением и мы имеем– представление подобия в виде композиции гомотетии с тем же коэффициентом и движения.

Из этой теоремы и свойств гомотетии и движения получаем свойства подобий:

1. Подобие переводит прямую в прямую.

2. Подобие сохраняет простое отношение трех точек прямой, а значит, сохраняет отношение «лежать между» и отрезок переводит в отрезок, луч в луч, угол в угол, полуплоскость в полуплоскость.

3. Подобие переводит угол в равный угол.

4. Существуют подобия I и II рода.

5. Множество Р всех подобий плоскости является группой относительно композиции преобразований. Подгруппами этой группы являются: группа всех движений плоскости, множество всех гомотетий с общим центром, множество всех гомотетий и параллельных переносов.

6. Фигуры и называются подобными, если они эквивалентны относительно группы Р подобий. Примерами подобных фигур являются два треугольника, соответственные стороны которых пропорциональны, два эллипса (две гиперболы), эксцентриситеты которых равны, любые две параболы.

Лекция 5. Аффинные преобразования плоскости, их геометрические свойства §9. Аффинные преобразования, их свойства

О п р е д е л е н и е. Преобразование плоскости называется аффинным, если оно переводит прямую в прямую и сохраняет простое отношение любых трех коллинеарных точек.

Таким образом, любое подобие, в частности, любое движение, является примером аффинного преобразования.

По аналогии с движением можно доказать теорему о задании аффинного преобразования парой соответствующих аффинных реперов.

Т е о р е м а. Для пары аффинных реперов исуществует единственное аффинное преобразование, которое реперпереводит в репер. При этом аффинном преобразовании точке с заданными координатами в репересоответствует точка с теми же координатами в репере.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Отображение плоскости в себя, при котором каждой точке с указанными координатами в репере соответствует точка с теми же координатами в репере, является аффинным преобразованием плоскости, переводящим реперв(обосновать).

Если какое-то аффинное преобразование также переводит репер в, то нужно показать, что оно совпадает с заданным преобразованием.

Докажите самостоятельно

С л е д с т в и е. Если аффинное преобразование имеет три неколлинеарные неподвижные точки, то это преобразование является тождественным.

Аналогично тому, как это было сделано для движений, можно вывести формулы аффинного преобразования:

.

Из определения аффинного преобразования и этих формул имеем свойства аффинных преобразований:

1. Аффинное преобразование репер переводит в репер.

2. Аффинное преобразование либо сохраняет, либо меняет ориентацию плоскости. Таким образом, имеем аффинные преобразования I и II рода.

3. Приаффинном преобразовании прямая переходит в прямую, параллельные прямые в параллельные прямые, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, полуплоскость в полуплоскость.