§5. Геометрический смысл знака четырехчлена плоскости

Относительно аффинной системы координат в пространстве плоскостьзадана уравнением.

Выражение называетсячетырехчленом плоскости.

От точки отложим вектор. Так как это вектор не параллелен плоскости, то точкане лежит в этой плоскости.

Для произвольной точки пространства существует точкав плоскости, такая, что. При этом,, если точкиилежат по одну сторону от, и, если точкиилежат по разные стороны от. Находим координаты точки

.

Находим значение четырехчлена плоскости от координат точки

.

Таким образом, для всех точек пространства, лежащих с точкой по одну сторону от, значение четырехчлена плоскости больше нуля, а для всех точек пространства, лежащих спо разные стороны от, значение четырехчлена плоскости меньше нуля. Ясенгеометрический смысл знака четырехчлена:

каждое из неравенств определяет полупространство, границей которого является плоскость, задаваемая уравнением.

§6. Расстояние от точки до плоскости

Для плоскости , заданной уравнениемотносительно прямоугольной системы координат, вектор

является ортом вектора .

Для точки пространства существует точкав плоскости, такая, что.

Расстояние от точки до плоскостиравно длине вектора, а значит модулю числа. Имеем

.

Получаем формулу вычисления расстояния от точки до плоскости

.

Лекция 2. Прямая в пространстве §7. Уравнение прямой в пространстве

Прямая в пространстве вполне определяется точкойи направляющим вектором. Произвольная точка пространства принадлежит прямойтогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны, то есть отличаются друг от друга числовым множителем, их координаты пропорциональны. Имеем

–параметрические уравнения прямой,

–каноническое уравнение прямой.

Прямая может быть задана как пересечение двух плоскостей, то есть системой двух линейных уравнений

–общие уравнения прямой.

Несложно проверить, что вектор параллелен плоскостям, определяющим прямую, а значит, является направляющим вектором этой прямой.

§8. Взаимное расположение прямых. Расстояние между прямыми в пространстве

Для каждой из двух заданных прямых можно найти точку, принадлежащую этой прямой, и направляющий вектор

.

Прямые исовпадают тогда и только тогда, когда векторыколлинеарны.

Прямые ипараллельны тогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны и неколлинеарны вектору.

Прямые иперескаются тогда и только тогда, когда векторыинеколлинеарны, а тройка векторовявляется компланарной.

Прямые искрещивающиеся тогда и только тогда, когда векторынекомпланарны.

Несложно заметить, что расстояние между параллельными прямыми можно найти как высоту параллелограмма, построенного на направляющем векторе этих прямых и векторе, соединяющем две точки этих прямых: .

Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти как высоту параллелепипеда, построенного на направляющих векторах этих прямых и векторе, соединяющем две точки этих прямых: .

Лекция 3 - 4. Поверхности второго порядка в пространстве §9. Поверхности второго порядка. Метод сечений

О п р е д е л е н и е. Алгебраической поверхностью второго порядка называется множество всех точек пространства, задаваемое относительно некоторой аффинной системы координат уравнением вида , где– многочлен второй степени.

Рассматривая сечения поверхности координатными плоскостями и плоскостями, им параллельными, можно определить форму поверхности и построить её.