Landsberg-1985-T1

состава вагоны наталкиваЮТСЯ друг на друга, буферные пру­

жины сжимаются у обоих вагонов. Земля притягивает Луну

(сила всемирного тяготения) и заставляет ее двигаться по криволинейной траектории; в.свою очередь Луна также при­

тягивает Землю (тоже сила всемирного тяготения).. Хотя,

естественно, в системе отсчета, связанной с 3еivfJIей, ускоре­ ние Земли, вызываемое этой силой, нельзя обнаружить не­ посредственно (непосредственно нельзя обнаружить даже значительно большее ускорение, вызываемое притяжением Земли Солнцем), оно проявляется в виде приливов (§ 137).

Мы привели несколько примеров сил, действующих

между телами; эти примеры показывают, что силы всегда

возн икают не в одиночку, а по две сразу: если одно тело дей­

ствует с некоторой силой на другое (<<действие»), то и вто­

рое тело действует с некоторой силой на первое (<<противо­ действие»). Опыт показывает, что это правило носит всеоб­

щий характер. Все силы носят взаимный характер, так что

силовые действия тел друг на друга всегда представляют

собой взаимодействия.

Что же можно сказать о силе, действующей со стороны

второго тела на первое, если мы знаем силу, действующую

со стороны первого тела на второе? Грубые измерения сил

взаимодействия можно произнести на следующих опытах.

Возьмем два динамометра, зацепим друг за друга их крюч­

ки и, взявшись за кольца, будем растягивать их, следя за

~1I111I11,!lIllIlIf~f±++<8~'

Рис. 68. Сила, с которой первый динамометр действует на второй, рав­

на по модулю силе; с которой второй дииамометр действует на первый

показаниями обоих динамометров (рис. 68). мы увидим, что при любых растяжениях показания обоих динамометров будут совпадать; зна<rит, сила, с которой первый динамо­

метр действует на второй, равна силе, с которой второй ди­ на~lOметр действует на первый.

Другой опыт по сравнению упругих сил взаи-модейетвия показан на рис. 69, где тела, укрепленные на тележках,

могут быть любыми. По-разному нажимая рукой на дина­

мометр слева, вызовем различные показания дИ'Намометра

справа. Когда сдавливаемые тела остаются неподвижны­ ми, об~ динамометра показывают равные по модулю силы Р} И РЗ. При этом направления сил, с которыми действуют

динамометры, будут противоположны: Кроме сил со стороны динамометров, при этом на тела действуют силы их упругого

102

·вэанмодеЙс'):вия; на тело А - сила Fз со стороны тела В JI на тело В - сила Р.со стороны тела А. оба тела непо­

движны; значит, действующие на каждое из них силы долж­

ны уравновешиваться. Значит. сила Fз должна уравновеши­ вать силу Fi. а сила Р... - силу Fi,. Так как. силы Fi И Р.

А	fJ

Рис. 69. Исследование взаимодействия двух тел А и В. Внизу показаны деЙСТВУIOщие на них силы

~.

~

равны по модулю, то силы Fз и Р4 также равны по модулю

и противоположны по направлению.

.

Аналогично можно сравнить и силы взаимодействия,

. действующие на расстоянии. Укрепим на тележке магнит, на другой тележке - кусок железа и прикрепим к тележк.ам

динамометры (рис. 70). В зависимости от условий опыта те­

лежки могут остановиться на разном расстоянии друг от

		Железо
		~~~
		Железо
~5~r~1
f	3	7чllliDillШf'i

Рис. 70. Сравнение сил ,взаимо:n:ействия между магнитом и куском же­

леза

друга, так что силы взаимодействия между магнитом и кус­

ком железа будут больше или меньше в зависимости от

этого расстояния. Но во всех случаях окажется, что дина­

мометры дадут одинаковые показания; проведя такие же

'рассуждения, как и в предыдущем случае, мы заключим,

что сила, с КОТОРОЙ магнит притягивает железо, равна по модулю и противоположна по направлению силе, с которой

железо притягивает магнит.

103

в iIриведеииых примерах взаимодействующие тела поко­ ились. Но опыт показывает, что силы взаимодействия меж­

ду двумя телами равны по модулю и противоположны по

направлению и в тех случаях когда тела движутся. Это ил­ люстрируется следующим опытом. На двух тележках, кото­

рые могут катиться по рельсам, стоят два человека А и В

(рис. 71.). Они держат в руках концы веревки. Легко обна­

ружить, что независимо от того, кто натягивает (<<выбирает»)

8

(

Рис. 71. Кто бы. ИЗ СТОЯЩИХ иа подвижных тележках ни «выбирал»

веревку, ускорение получат обе тележки

веревку " А или В или оба вместе, тележки всегда приходят

в движение одновременно и притом в противоположных на­

правлениях. Измеряя ускорения тележек, можно убедить­ ся, что ускорения обратно пропорционалъны массам каждой

из тележек (вместе с человеком). Как мы видели в § 44, от­

сюда следует. что силы. действующие на тележки, равны по

модулю.

Опыты показывают, что и во всех других случаях, если

одно тело действует на другое с некоторой силой, то второе тело действует на первое с силой, равной по модулю и про­

тивоположной по направлению. При этом обе силы лежат на одной прямой. Это ~ закон равенства действия и проти­ водействия, открытый Ньютоном и названный им третьим

законом		движения.	'"
?	47.1. Найдите силу, с которой килограммовая		гиря, JIежащая
•	на	Земле, притягивае'l Землю.

47,2. В опыте с .IJЮДЬМИ на тележках найдите отношение путей,'

пройденных теJIеЖКаМИ за какой-либо промежуток времеии (на­

пример, до столкновения), если известно отношение масс тележек

слюдьми,

104

§ 48. Примеры ,применения треТьего закона Ньютона. В из­

вестной игре «перетягивание каната» обе партии действуют друг на друга (через канат) с одинаковыми си~ами, как это следует из закона действия и проти~одеЙствия. Значит, выиграет (перетянет канат) не та партия, которая сильнее тянет, а та, которая сильнее упирается в Землю.

Как объяснить, что лошадь везет сани, если, как это сле­

дует из закона действия и противодействия, сани тянут ло­

шадь назад с такой же по модулю силой F2 , С какой лошадь

~	~ ....
~	~	т,

Рис. 72. Лошадь сдвинет и повезет нагруженные сани, потому что со

стороны дороги на ее копыта действуют большие силы трения, чем на скользкие полозья саней

тянет сани вперед (сила F1 )? Почему эти силы не уравнове­

шиваются? Дело в том, что, во-первых; хотя эти силы равны

и прямо противоположны, онд приложены к разным телам,

а во-вторых, и на сани и на лошадь действуют еще 'и силы

со стороны дороги (рис. 72). Сила F 1 со стороны лошади при­

ложена к саням, испытывающим, кроме этой силы, лишь

небольшую силу трения /1 полозьев о снег; поэтому сани начинают двигаться вперед. К лошади же, помимо силы со стороны саней F 2 , направленной назад, приложены со сто­

роны дороги, в которую она упирается ногами, силы /2'

направленные вперед и большие, чем сила со стороны саней.

Поэтому лошадь тоже начинает двигаться вперед. Если

поставить лошадь ца лед, то сила со стороны скользкого

льда будет недостаточна, и лошадь не сдвинет сани. То же будет ис очень тяжело нагруженным возом, когда лошадь,

даже упираясь ногами, не сможет создать достаточную силу,

чтобы сдвинуть воз с места. После того как лошадь сдвинула

сани и установилось равномерное движение саней, сила /i будет уравновешена силами /2 (первый закон Ньютона).

Подобный же вопрос возникает и при разборе движения

поезда под действием электровоза. И здесь, как и в преды-

10~

дущем случае, движение возможно лишь благодаря тому,

что, кроме сил взаимодействия между тянущим телом (ло­ шадь, электровоз) и «прицепом» (сани, поезд), на тянущее

'Тело действуют со стороны дороги или рельсов силы, на­

правленные вперед. На идеально скользкой поверхности,

от которой нельзя «оттолкнуться», ни сани с лошадью, ни

поезд, ни автомобиль не могли бы сдвинуться с места.

. Третий закон Ньютона позволяет рассчитать явление

отдачи при выстреле. Установим на тележку модель пуш­

ки, действующую при по~ощи пара (рис. 73) или при помо­ щи пружины. Пусть вначале тележка' покоится. При пы­

стреле (~снаряд)} (пробка) вылетает в одну сторону, а «пушка»

r-,

~ 1...-..1

Рис. 73. При нагревании пробирки с водой пробка вылетает в одну сто­

РОНУ, а «пушка» катится в противоположную сторону

откатывается в другую. Откат •пушки и есть результат отда-

чи. Отдача есть не что иное, как противодействие со стороны

снаряда, действующее, согласно третьему закону Ньютона,

. на пушку, выбрасывающую снаряд. Согласно этому закону сила, действующая со стороны пушки на снаряд, все вр~мя равна силе, действующей со стороны снаряда на пушку, и

направлена противоположно ей. Таким образом, ускоре­

ния, получаемые пушкой и снарядом, направлены противо-

-положно, а по модулю обратно пропорциональны масс!;!м

этих.тел. В результате снаряд и пушка приобретут противо­

IJОЛОЖНО направленные скорости, находящиеся в том же

отношении. Обозначим скорость, полученную снарядом, через 'V, а скорость, полученную пушкой, через V, а массы этих тел обозначим через т и М соответственно. Тогда

v/V==M/m.

Здесь v и V - модули скоростей.

Выстрел из всякоrо оружия сопровождается отдачей. Старинные

пушки после выстрела откатывались назад. В современиых орудltях ствол укрепляется на лафете не жестко, а при помощи приспособленю'l,

которые позволяют стволу отходить назад; затем пружины сиова воз­

вращают ег,о на место. В автоматическом огнестрельном оружии явле­ lIие отдачи используется для Toro, чтобы перезарядить орудие. При

1~

выстреле ОТХОАИТ только затвор. Он выбрасывает ИСПOJlьзованную ГИJЦ...

зу, а затем пружины, возвращая его на место, вводят в ствол иовый пат.

рои. Этот принцип используется не только 8 пулеметах и автоматическим

пистолетах, но и в скорострельных пушках.

§ 49. Импульс тела. Основные законы механики - второй и третий законы Ньютона - заключают в себе возможность решения любой механической задачи. В следующих парагра­ фах мы увидим, что применение законов Ньютона к решению задач часто можно облегчить, используя следующий вывод

из второго закона.

Подействуем на тело массы т постоянной силой Р. Тогда ускорение тела также будет постоянно:

a=F/m. (49.1)

Пусть в начальный момент промежутка времени t, в течение которого действовала сила, скорость тела была "'0, а в ко­ flечный момент этого промежутка скорость тела стала рав­

на v. Напомним формулу (27.2), применимую для случая

постоянного ускорения:

а= (v-Vo)/t.

Из этой формулы и из формулы (49.1) следует, что mv-m'Oо=Ft. (49.2)

Произведение массы тела на его скорость называют им­ пульсом тела. Импульс тела ~ векторная величина, так

как скорость - вектор. Согласно формуле (49.2) прираще­ ние импульса тела noд действием постоянной силы равно произведению силы на время ее действия. Если сила не остает­ ся постоянной, то формула (49.2) применима только для та­

ких малых промежутков времени, за которые сила не yc~

певает заметно измениться ни по модулю, ни по направле­

нию. При большом изменении силы формулой (49.2) также

можно пользоваться, но в качестве F следует брать среднее значение силы за рассматриваемый промежуток времени.

Вслучае прямолинейного движения, происходящего

вдоль -оси Х, можно спроектировать векторы, входящие

в' формулу (49.2), на эту ось. Тогда формула примет скаляр­

ный вид:

mv"-mvо,,=F,,t. (49.3)

Здесь vx , vOx и Fх-проекции векторов 'О' '00 И F на ось х.

Поскольку в рассматриваемом случае BC~ три вектора

расположены на оси х, каждая из проекций равна модулю

соот~етствующ.его вектора, взятому со знаком плюс, если

.10!

вектор направлен по оси и со знаком минус, если направле­

ние вектора противоположно направлению оси. Таким обра­

зом, знак проекции указывает направление соответствую­

щего вектора. Если, скажем, v" положительна (т. е. v,,=v), это означает, что вектор v направлен по оси х. Если РХ отрицательна (т. е. Р,,=-Р), это означает, что направление

силы противоположно направлению оси х, и т. д.

-

§ 50. Система тел. Закон сохранения импульса. До сих пор

мы рассматривали только действия сил' на одно тело. В ме­

ханике ч.асто встречаются задачи, когда необходимо одно­

временно рассматривать несколько тел, движущихся по­

разному. Таковы, например, задачи о движении небесных тел, о соударении тел, об отдаче огнестрельного оружия,

где и снаряд и пушка начинают двигаться после выстрела,

и т. д. В этих случаях говорят о движении системы тел:

Солнечной системы, 'системы двух соударяющихся тел, сис­

темы пушка - снаряд и т. п. Между телами сис1емы дей­

ствуют некоторые силы. В Солнечной системе - это силы

всемирнuго тяготения, в системе соударяющихся тел­ силы упругости, в системе пушка - снаряд - силы давле­

ния пороховых газов.

Кроме сил, действующих с(\ стороны одних тел системы на другие «(внутренние» силы), на тела могут действовать еще силы со стороны тел, не принадлежащих системе (<<внешние» силы); например, на соударяющиеся бильярдные шары дей­

ствуют еще сила тяжести и сила упругости стола, на пушку

11 снаряд также действует сила тяжести, и т. п. Однако в ря.­ де случаев внешними силами можно пренебрегать. Так,

при соударении катящихся шаров силы тяжести уравно­ вешены для каждого шара в отдельности и потому не влия­

ют на их движение; при выстреле из пушки сила тяжести

окажет свое действие на полет снаряда только после выле­ та его из ствола, что не скажется на отдаче. Поэтому часто

можно рассматривать движения системы тел, полагая, что

внешние силы отсутствуют. -

Начнем с простейш~й системы, состоящей только из

двух тел. Пусть их массы равны т и М, а скорости равны V o 11 Vo• Будем считать, что внешние силы на эти тела не

действуют. Между собой же эти тела могут взаимодейство­ вать. В результате взаимодействия (например, вследствие

соударения) скорости тел I1зменятся и станут равными v

и V соответственно. Для тела массы т приращение импуль­ са mv - rnvo=Ft, где F - сила, с которой на него действо­

вало тело миССЫ М, а t - время взаимодеllСТВИЯ. Для тела

108

,

массы М приращение импульса MV-МVо=-Ft, так как,

согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой тело

массы т действует на тело массы М, равна по модулю и

противоположна по направлению силе, с которой тело мас­

сы М действует на тело массы т. Складывая оба выражения

ДЛЯ приращения импульса, получим

m'l1-m'l1о+МV-МVо=О;

отсюда

. (50.1)

Таким образом, при отсутствии внешних сил суммарный l:lМnУЛЬС системы (векторная сумма имnульсов тел, состав­

ляющих систему) в резулЬ!nате взаимодействия тел не из­

,меняется. Иначе можно сказать, что внутренние силы не

изменяют суммарного импульса системы. Этот результат

совершенно не зависит от того, как взаимодействовали тела

системы: долго или кратковременно, при соприкоснове­

нии или на раССТQЯНИИ и т. п. В частности, из этого равенст­

ва следует, что если вна~але оба тела покоились, 1'0 суммар­ ный импульс системы останется равным нулю и в даль­

нейшем, есла только на систему не подействуют силы извне.

Можно доказать,- что и для системы, состбящей из боль­

шего чем два числа тел, суммарный импульс системы оста­

ется 11,остоянным, если только внешние силы отсутствуют.

Это важнейшее положение называют законом сохранения

импульса. Закон сохранения импульса является одним из

фундаментальных законов природы, значение которого не

ограничивается только рамками механики. Если' система

состоит из однщо тела; то для него закон сохранения им­

пульса означает·, что в отсутствие сил, на него действую­ щих, импульс тела не изменяется. Это равносильно закону 'инерции (скорость тела не изменяется).

§ 5t: Применения закона сохранени.я импульса. Применим

заКQН сохранения импул..са ~ ?адаче об отдаче пушки. Вна­

чале, до выстрела, как пушка (массы М), так и снаряд (мас­

сы т) покоятся. Значит, суммарный импульс сиетемы пуш­ ка'- снаряд равен нулю (в форм)'ле (50.1) можно положить

равными нулю екорости УО и "о). После выстрела пушка и

снаряд получат скорости V и 'l1соответственно. Суммарный

импульс после выстрела также должен равняться нулю,

согласно закону сохранения импульса. Таким образом, не­

посредственно после выстрела будет выполнено равенство

MV+m'l1=O, или V=-'l1mIМ,

109

откуда следуе"Г, что пушка ПOJIучит скороеть, во сто.лъко раз

меньшую СКОРОСТIt снаряда, во сколько раз масса пушки tЮ.льше массы снаряда; знак мииус указывает на против&­

Пf)JIОЖНОСТЬ направлений скоростей пушки И снаряда. Эгот результат был уже нами ПOJlучен другим способом в § 48.

Мы видим, что задачу удалось решить, не выясняя-даже,

какие силы и в течение какого времени действовали на тела системы; эти сведения были бы нужны, если бы мы вычис­ ляли скорость пушки при помощи второго закона Ньютона. В закон сохранения импульса силы вообще не входят. Это обстоятельство позволяет решать простым способом многие

задачи, в основном такие, где мы интересуемся не процес­

сом взаимодействия тел системы, а только окончательным результатом этого взаимодействия, как в примере с выстре­ лом из .пушки. Конечно, если силы неизвестны, то должны

быть заданы какие-то другие величины, относящиеся к дви­

жению. В данном примере, для того чтобы можно было оп­

ределить скорость пушки, надо было знать скорость сна­

ряда после выстрела.

Ест. измерено время взаимодействия пушки со снаря­

дом, то можно найти среднюю силу, действовавшую на сна­

ряд. Если это время равнялось t, то средняя сила была рав­

на Fcpe1J.l'l=mv/t. Такая же по,нодулю средняя сила (но про­

тивоположно направленная) действовала и на пушку.

Рассмотрим еще одну очень важную задачу, которую так­

же можно решить, польэуясь законом сохранения импуль­

са. Это -'- задача (') неуnруго.м. соударении двух тел, Т.е. о

случае, когда тела после соударения движутся с одной и

m1 'и1

Рис. 74. Сложение импульсов при неупругом соударении двух тел

той же скоростью, как это происходит, например, при со­ ударении двух комков мягкой глины, крторые, столкнув­

шись, слипаются и ПРОДOJlжают движение совместно.

Пусть тело массы mi имело до соударения скорость 'l1i, а тело массы m2 имело до соударения скорость 'l1 2 • Пусть внешние силы отсутствуют. После соударения оба тела бу-

t10

дут двигаться вместе с некоторой скоростью ", которую и

тp€буется найти. Суммарный импульс тел легко найти пу­

тем векторного сложения, как это показано на рис. 74. Сла-'

. гаемые векторы - импульсы каждого из тел до соудареиия.

Искомая же скорость получится путем деления суммарного

импульса тел на их суммарную массу.

(51.1 )

Если до соударения тела двигались по одной прямой, то

после соударения они будут двигаться по той же прямой.

Примем эту прямую за ось х и спроектируем скорости на эту ось. Тогда формула (51.1) превратится в скалярную фор­

мулу:

(51.2)

Каждая из проекций в этой формуле равна модулю соот­

ветствующего вектора, взятому со знаком плюс, если век­

тор направлен по' оси х, и со знаком минус, если направле­

ние вектора противоположно направлению оси х (ср. с фор_'

мулой (49.3».

?51.1. Человек массы 60 кг, бегущий вдоль рельсов со скоростью

•6 м/с, впрыгивает на неподвижно стоящую на рельсах тележку

массы 30 кг и останавливается на тележке. С каКОй скоростью тележка начнет катиться по рельсам?

§ 52.. Свободное падение тел. Если камень и комок бумаги

начали падать с одинаковой высоты одновременно, то ка­

мень достигнет земли раньше, чем комок. Из подобных по­ вседневных наблюдений, казалось бы, следует, что под дей­ ствием силы тяжести тяжелые тела падают быстрее легких. TaK~ неверное заключение и было сделано еще в древности

великим греческим философом Аристотелем (384-322 гг.

до нашей эры), и это воззрение продержалось в науке в те­

чение почти двух тысяч лет! Только в 1583 г. Г. Галилей на

основании более глубокого опытного изучения законов па­

дения опроверг мнение Аристотеля. Галилей выяснил, что

в обычных условиях тела падают под действием не только

силы тяжести, но и сил сопротивления воздуха (§ 68) и tITO

истинный закон падения под действием только силы тщкести искажается сопротивлением воздуха. Галилей установил,

что в отсутствие этого сопротивления все тела падают равно­

ускоренно и, что весьма важно, в данной точке Земли ус­

корение всех тел при падении ооно и то же.

~ 11