Landsberg-1985-T3

жения - характерно не только для свободных колебаний маятника, но и вообще для свободных колебаний очень

многих колебательных систем.

Прикрепим к маятнику волосок - кусочек тонкой про­ волочки или упругой нейлоновой нити - и будем двигать

Рис. 3. Запись колебаний маятника на закопченной

пластинке

под этим волоском закопчен­

ную стеклянную пластинку,

как показано на рис. 3.

Если двигать пластинку с по­ стоянной скоростью в направ­

лении, перпендикулярном к

плоскости колебаний, то воло­

сок прочертит на пластинке

волнистую линию (рис. 4).

Мы имеем в этом опыте прос­

тейший осциллограф - так называются приборыдля запи­

си колебаний. Кривые, кото­ рые записывает осциллограф,

называются осциллограм.мами.

Таким образом, рис. 4 пред­ ставляет собой осциллограм­

му колебаний маятника. Амп­

литуда колебаний изображает­

ся на этой осциллограмме отрезком АВ, дающим наибольшее

отклонение волнистой кривой ОТ прямой линии аЬ, которую

волосок прочертил бы на пластинке при неподвижном ма­

ятнике (покоящемся в положении равновесия). Период

изображается отрезком CD, равным расстоянию, на которое

передвигается пластинка за период маятника.

n '\	1\ 1\ /\---!
~		rz	\11	ГАО
,,: V		IVc	\.7])	V
",..		~'O
Рис. 4. Осциллограмма колебаиий			маятиика; АВ - амплитуда, CD -
		период

Так как мы двигаем закопченную пластинку равномерно,

то всякое ее перемещение пропорционально времени, в те­

чение которого оно совершалось. Мы можем сказать поэто­ му, что вдоль прямой аЬ в определенном масштабе (завися-, щем от скорости движения пластинки) отложено время. С другой стороны, в направлении, перпендикулярном к аЬ,

14

волосок отмечает на пластинке расстояния КОllца маятника

от его положения равновесия, т. е. путь, пройденный кон­

цом маятника от этого положения *). Таким образом, осцuл­

лограм.W,а есть не что иное, как график движения - график

зasисимостu пути от времени.

Как мы знаем, наклон линии на таком графике изобра­

жает скорость движения (см. том 1, § 19). Через положение равновесия маятник проходит с наибольшей скоростью. Соот­ ветственно этому и наклон волнистой линии на рис. 4 наи­

больший в тех точках, где она пересекает прямую аЬ. На­ оборот, в моменты наибольших отклонений скорость маят­ ника равна нулю. Соответственно этому и волнистая линия на рис. 4 в тех точках, где она наиболее удалена от аЬ,

имеет касательную, параЛJJельную аЬ, т. е. наклон, рав­ НЫЙ нулю.

§ 4. Колебания камертона. Мы уже отметили, что БО.1Ь­

шинство источников звука является колебательными систе­

мами. Легко убедиться в том, что звучащий камертон колеб­

лется, причем форма его колебаний така" же, как и у :vIаят­

ника.

В качестве осциллографа можно по-прежнему использо­ вать закопченную пластинку, приклеив пишущий волосок к

ножке камертона.

-----

Рис. 5. Световой осциллограф с зеркальной разверткой

Но ввиду малости амплитуды и периода колебаний ка­ M~pTOHa с большим удобством можно применить осцилло­ граф со световым указателем (<<зайчиком») и зеркальной разверткой, описанный ранее (см. том II, § 152). На рис. 5

показано, как это сделать.

*) Точнее, это не путь, а смещение маятника от положения равнове.

сия. На почти прямых отрезках между соседними крайними положения­ ми кривая смещения совпадает с графиком пути и может быть исполь­

зована для оценки скорости маятника. (Примеч. ред.)

15

К ножке камертона 1 приклеено легкое зеркальце 2.

Световой луч, отразившись от этого зеркальца и от зер­

кального барабана 3, дает на стене светлое пятнышко (свето­

вой указатель). Если ударить камертон, то мы увидим, что

пятнышко вытягивается в вер­

тикальную полоску. Это про­

		исходит потому, что зеркаль-
		це 2 колеблется вместе с
		ножкой	камертона.
		Если теперь начать вра­
		щать барабан, то световому
		указателю будет сообщено го­
		ризонтальное		перемещение, и
		полоска	развернется в уже
		знакомую нам		волнистую ли­
	Рис. 6. Примеры колебаний оди­	нию.
		Амплитуда и период не да­
	накового периода, но разной
		ют полного представляения о
	формы
		характере		периодического

движения.Можно представить себе чрезвычайно разнообразные периодические движения,

имеющие одинаковые амплитуду и период, но совершенно

различные по фор м е к о л е б а н и й (по виду осцил­

лограмм). Несколько примеров осциллограмм таких дви­

жений, представляющих колебания некоторых механиче­ ских и электрических колебательных систем, показано на рис. 6.

Однако среди разнообразных по форме колебаний коле­

бания маятника или камертона имеют особенное значение.

Форма этих колебаний характерна для очень большого

числа колебательных систем. В частности, мы получим

такую же осциллограмму, как и для маятника, если при­

крепим пишущий волосок к колеблющейся металлической пластинке или к грузу. колеблющемуся на пружине. Ту же форму колебаний дает нам осциллограмма переменного

тока (см. том II, § 153).

Поэтому необходимо подробнее ознакомиться с 'колеба­

ниями указанной формы. В следующем параграфе мы уви­ дим, что колебания такой формы. как у маятника, очень

просто связаны с равномерным движением по окружности.

Это даст нам и способ графического построения осциллог­

раммы маятника.

§ 5. Гармоническое колебание. Частота. Прикрепим к рав­

номерно вращающемуся диску шарик на стержне и осветим

16

его сбоку (рис. 7). При вращении диска тень щарика будет колебаться на стене. Нетрудно построить графическоеизоб­

ражение этих колебаний. На рис. 8 отмечены и занумеро­

ваны 16 последовательных положений шарика, взятых через

каждую 1/16 полного оборота.		...: ...
Теми же цифрами от 1 до 16
занумерованы положения те­
ни на стене АВ; эти точки по­
лучены путем опускания на
прямую А В перпендикуляров
из точек окружности. Имен­
но так проецируется тень на
стену, если шарик освещать	Рис.	7. Теневая проекuия ша­
пучком параллельных лучей.
Для того чтобы развернуть	рика,	движущегося по окруж­
		ности

колебания проекции шарика

подобно тому, как это делает зеркальный барабан, построим

ряд равноотстоящих друг от друга прямых, параллельных

АВ. Последовательные положения проекции (тени) 1, 2, 3, ... , 16 мы будем теперь наносить не на одной и той же

А
., 2 -- 01 !				16,
'P---~"6-~5 ~	1'\4		fЦV	1\
jS----~4~ ч	1\5	f	11	1\
1~~-----45 5
	1\6	w211		1\
	r\7	I f1iJ		r\
		[89
9

Рис. 8. Построение развертки гармонического колебания

прямой, а на следующих друг за другом, как это показано в

правой частИ рис. 8. Проведя через отмеченные таким

способом точки непрерывную кривую, мы находим Волни­

стую линию, указывающую последовательные положения

тени шарика, т. е. график движения. Таким образом, мы получаем «осциллограмму» колебаний проекции шарика.

Колебание, какое совершает при равномерном движе­

нии точки по окружности проекция этой точки на какую­

либо прямую, называется гармоническим (или простым)

колебанием.

Гармоническое колебание является с п е ц и а л ь н ы м,

частНЫМ видом периодического кол~

б а н и я. Эгот специальный вид колебания очень важен, так

как он чрезвычайно часто встречается в самых различных

17

жеНИf!

колебательных системах. Колебанйе груза на пружине, камертона, мэятника, зажатой металлической пластинки

как раз и является по своей форме гармоническим. Следует заметить, что при больших амплитудах колебания указан­

ных систем имеют нескольКо более сложную форму, но они тем ближе к гармоническому,

чем меньше амплитуда колеба­

ний.

Колебание, весьма близкое к

гармоническому, можно осу­

ществить при помощи механиз-

Ама, показанного на рис. 9. При

равномерном вращении ручки

точка А натянутой нити пери­

	одически ходит	вверх	и вниз.
	Если длина 1 участка		нити до
	отверrтия велика	по сравнению
	с прогибом вала г, то		движение
	точки А будет очень близко к
	гармоническому колебанию. МЫ
	воспользуемся эти~ простым уст­
Рис. 9. :'.:kх;нтизм ДЛЯ полу-	ройством В дальнейшем.
чения гармоиического дви-	За~етим, что	в определении

гармонического колебания речь идет о пар а л л е л ь н о й проекции, т. е. положе­ ния точки, движущейся по окружности, сносятся на прямую

АВ (рис. 8) просредством параллельных между собой пер­ пендикуляров к АВ.

Рис. 10. Построение синусоиды

Если на горизонталыюй оси откладывать центральный

угол а (рис. 10), а на вертикальной - перпендикуляр ВВ',

опущенный из конца вращающегося радиуса ОВ на непод­ вижный диаметр АА I (угол а отсчитывается от неподвиж­ ного радиуса ОА), то получится кривая, называемая си-

18

н,усоидоЙ. -Для каждой абсциссы а ордината этой кривой ЕВ' пропорциональна синусу угла а, так как

. ВВ' sша= ОВ •

Сравнивая это построение с только что описанным по­

строением развертки гармонического колебания, нетрудно усмотреть их полное тождество. Таким образом, «волнистая

кривая», изображающая гармоническое колебание, есть

синусоида. Поэтому очень часто гармоническое, или про­ стое, колебание называют также синусоидальным колеба­

нием.

Число циклов гармонического колебания, совершаемых

за 1 с, называется частотой этого колебания. Если период

маятника равен 1 с (секундный маятник), то за 1 с совер­

шается один цикл и частота равна единице. Единицу частоты

называют герцем (сокращенно Гц) - в честь немецкого физика Генриха Герца (1857-1894), получившего электри­

ческие колебания, о которых мы будем говорить ниже. Как обычно, приставки к и л о и м е г а обозначают в тысячу

и в миллион раз более крупные единицы:

1 килогерц = 1 000 герц,

1 мегагерц = 1 000000 герц.

Если период равен 5 с, то частота будет 1/5 Гц. Вообще,

обозначая продолжительность периода, выраженную в

секундах,	через Т,	а частоту, выраженную в герцах, через
v , будем	иметь
		1
		"=7'
Таким	образом,	для г а р м о н и ч е с к о г о	к о л е­
б а н и я	период Т определяет собой и частоту		v=I1T.

Однако следует помнить, что такая связь между частотой и периодом характеризует только гармоническое (синусои­

дальное) колебание. У периодического колебания и н о й

фор м ы, негармонического, нет о Д н о й определенной

частоты, хотя оно и имеет определенный период Т. Мы

увидим далее, что это значит (§ 17). Поэтому, когда мы

говоримо колебании с определенной частотой,

то при этом всегда понимается г а р м о н и ч е с к о е

колебание, а не периодическое движение произвольной

формы.

В _природе и в технике приходится встречаться с меха­

ническими колебаниями, частоты которых чрезвычайно

t,

различны. Например, маятник, который подвешен для демонстрации опыта Фуко *) под куполом Исаакиевского

собора в Ленинграде, имеет период Т около 20 с, т. е. частоту v = 0,05 гц; частота колебаний железнодорожного

вагона на его рессорах составляет около 1 Гц; камертоны

могут колебаться с частотами от десятков герц до несколь­ ких килогерц. Физики умеют получать так называемые

ультразвуковые колебания (о них мы еще будем говорить

ниже) с частотами, доходящими до нескольких десятков мегагерц. Колебзния атомов внутри молекул происходят с частотами в :v1Иллионы мегагерц. Таким образом, д и а п а­ з о н частот механических колебаний очень широк.

Говоря в перечисленных примерах колебаний о ч а с т о­ т е, мы тем самым утверждаем, что эти колебания г а р­

мо н и ч е с к и е.

§6. Сдвиг фаз. Могут ли чем-либо отличаться друг от

друга два гармонических колебания, имеющих одинаковые

амплитуды и частоты? Возьмем два о Д и н а к о вы х

маятника и отклоним их в одну и ту же сторону на один и

тот же угол от вертикали. Если теперь их отпустить, ТО мы

		J	1		!		I
I		J	1		r	J	1
I		'!	1		! I	l	r
	1		I	l	;!!I,~
l		!!! 1 I I r	J r	1
~!л 1\!/i ! \1			~lл		1~1~1\
Рис.	11.	Колебания маятников	Рис. 12. Колебаиия: маятнИ/юв
сдвинуты		на четверть периода	сдвинуты на полпериода

получим два гармонических колебания с одинаковыми ам­ плитудами и частотами. Казалось бы, никакого различия между ними быть не может.

Однако стоит нам отпустить маятники н е о Д н о в р е­

м е н н о, и мы сразу же увидим разницу: колебания будут

с д в и н у т ы п о в р е м е н и.

*) Опыт Фуко позволяет обнаружить по повороту плоскости, в ко­

торой происходит качания маятника, суточное вращение Земли.

20

Отпустим сначала один маятник, а второй отпустим только тогда, когда первый будет проходить через положе­ ние равновесия, т. е. спустя четверть периода. С этим сдви­ rOM по времени на четверть периода маятники и будут коле­

баться дальше (рис. 11).

Мы могли бы выждать полпериода от момента пуска пер­ Boro маятника и тогда отпустить второй. Колебания были бы сдвинуты на полпериода: маятники одновременно про­

ходят при этом через положения равновесия, но движутся

все время в противоположные стороны; при наибольшем отклонении одного из них вправо другой сильнее Bcero

отклонен влево, и наоборот (рис. 12).

Нетрудно получить такие сдвинутые по времени коле­ бания в опыте с теневой проекциеЙ. Если на равномерно

вращающемся диске укреплены два шарика в двух диа­

метрально противоположных точках (рис. 13), то их тени будут колебаться со сдвигом вполпериода, т. е. будут все

Рис. 13. Колебания теней	Рис. 14. Колебания теней
сдвинуты по фазе на 1800	сдвинуты по фазе на 900

время двигаться в противоположные стороны, одновре­

менно проходя через среднее положение. Для того чтобы

получить сдвиг в четверть периода, надо расположить ша­

рики под центральным углом 900 друг к другу (рис. 14).

В этом случае одна тень проходит через ~peДHee положение тогда, когда другая наиболее отклонена. Вообще колебания на тени будут сдвинуты на такую часть пер и о Д а, какую

часть от полной окружности (3600) составляет у г о л между

радиусами, на которых укреплены шарики.

Про колебания одинаковой частоты, но смещенные по

времени,	говорят,	что они	с Д в и н у т ы		по фаз е,
Смещение	по времени выражается			в долях	периода, а
с Д в и r,	и л и раз н о с т ь,		фа 3 - В угловых единицах
(градусах или радианах).
Если второе колебание запаздывает по сравнению с пер­
вым на 1/8 периода,		то это значит,		что оно о т с т а е т п о

21

фаз е на 360"·118=45", или сдвинуто по фазе на -45".

Если же второе колМание опережает первое на 1/8 периода,

то говорят, что оно о пер е ж а е т е г о п о фаз е на

45", или сдвинуто по фазе на +450.

Если колебания происходят без запаздывания, то их

называют синфазными, или говорят, что они совершаются

в фаз е (т. е. в одинаковой фазе). При запаздывании одного из колебаний на полпериода говорят, что колебания проис­

ходят в про т и в о фаз е.

Понятие сдвига, или разности, фаз характеризует, как

мы видим, соотношение по времени между Д в у м я гар­

моническими колебаниями. Можно, однако, говорить о

фазе одного-единственного гармонического колебания. Фа­

зой гармонического колебания называется угол, соответст­

вующий времени, протекшему от какого-нибудь произволь­ но выбранного момента. Разумеется, один период колебания

соответствует при этом по-прежнему 3600.

Итак, фаза колебания зависит от того, какой момент принят за начало отсчета времени. Разность же фаз двух колебаний не зависит от этого произвольного выбора.

§ 7. Динамика колебаний маятника. Маятники, изобра­

женные на рис. 2, представляют собой протяженные тела

различной формы и размеров, совершающие колебания около точки подвеса или опоры. Такие системы называются физическими маятниками. В состоянии равновесия, когда

центр тяжести находится на вертикали под точкой подвеса

(или опоры), сила тяжести уравновешивается (через упру­ гие силы деформированного маятника) реакцией опоры. При отклонении из положения равновесия сила тяжести и

упругие силы определяют в каждый момент времени угловое

ускорение маятника, т. е. определяют характер его движе­

ния (колебания). МЫ рассмотрим теперь динамику колеба­ ний подробнее на простейшем примере так называемого математического маятника, который представляет собой грузик малого размера, подвешенный на длинной ТОНКQЙ

нити.

В математическом маятнике мы можем пренебречь мас­ сой нити и деформацией грузика, т. е. можем считать, что

масса маятника сосредоточена в грузике, а упругие силы

сосредоточены в н и т и, которую считают нерастяжимоЙ.

Посмотрим теперь, под действием каких сил происходит

колебание нашего маятника после того, как он каким-либо

способом (толчком, отклонением) выведен из ПОЛЩКЩlIнi

равновесия.

22

Когда маятник покоится в положении равновесия, то сила тяжести, действующая на его грузик и направленная вертикально вниз, уравновешивается силой натяжения

нити. В отклоненном положении (РИС. 15) сила тяжести Р

действует под углом к силе натяжения Р, направленной вдоль нити. Разложим силу тяжести на две составляющие:

по направлению нити (Р2) и перпендикулярно к нему (P1 ) .

При колебаниях !l1аятника сила натяжения нити F не-

сколько превышает составл я­

ющую P z - на величину цент­

ростре!\штельной силы, кото­

рая заставляет груз двигаться

по дуге. Составляющая же Р1

всегда направлена в сторону

положения равновесия; она

каи бы стремится восстановить

это положение. Поэтому ее

часто	называют	возвращаю­
щей силой. По модулю Р1
тем больше, чем		больше от­	Рис. 15. Возвращающая сила Рl
клонен	маятник.		при отклонении маятника от по­
Итак. как только '.lаятник			.~ожсния равновесия

при своих колебаниях'начи­

нает отклоняться от положения равновесия, скажем, впра­

во, появляется Сllла P 1 , замедляющая его движение тем сильнее, чем дальше он отклонен. В конечном счете эта сила

его остановит и повлечет обратно к положению равновесин. Однако по мере приближения к этому положению Сl!ла Р1

будет становиться все меньше и в самом положении рав­

новесия обратится в нуль. Таким образом, через п о л 0-

ж е н и е р а в н о в е с и я маятник проходит п о и н е р­

Ц и и. Как только он начнет оТКлоняться влево, опять поя­ вится растущая с увеличением отклонения сила P1 , но теперь уже направленная вправо. Движение влево опять

будет замедляться, зате'.1 маятник на мгновение остановит­

ся, после чего начнется ускоренное движение вправо и т. д.

Что происходит с энергией маятника IJРИ его колебаниях? Два раза в течение периода - при наибольших откло­

нениях влево и вправо - маятник останавливается, т. е. в

эти моменты скорость равна нулю, а значит, равна нулю и

кинетическая энергия. Зато именно в эти моменты центр

тяжеСТII маятника поднят на наибольшую высоту и, сле­

довательно, потенциальная энергия наиболыпая. Наоборот,

в моменты прохождения через положение равновесия потен-

23