Landsberg-1985-T3

§ '12. в'ыуж'Ае"ныы~ колебании. Выше мы говори3IИ о 'с в о­

б о д'Н Ы Х К о Л"е 6 а н и я х, т. е. о периодическ,nх ДВИ­

жениях, которые 'СОвершаются колебательной системой, если

ее вьmести из состояни'я равновесия и затем предоставить

самой себе. Но мы уже упоминали и о таких случаях, когда периодическое движение тела происходит не свободно,

а в результате действия периодически меняющейся силы. Подобные повторяющиеся силы вызывают периодическое

движение даже таких тел, которые сами не являются коле­

батеm,ными систе~1ами. Вспо~IНИМ, например, периодическое

открывание и закрывание двери

или движение иглы в швейной

машине. Нетрудно заметить, что

	период	движения,	вызванного
!	периодически меняющейся				си­
	лой, равен периоду силы.
	Но как будет обстоять дело в
	том случае, если периодическая
	сила действует на колебательную
	систему? Ведь у колебательной
	системы есть свой		с о б с т в е н­
',1	Н Ы Й	пер и о д,	т. е.	период
	собственных колебаний, а сила
	может меняться с каким-либо
	други\>! периодом. Каков же бу­
	дет период движения?
Рис. 25. Вынужденные коле-	Возьмем в качестве колеба-
6ания груза на пружине	тельной системы груз,			висящий
на пружине, и подвесю!	этот	пружинный	маятник		на

конце нити того механизма (рис. 25), который был описан

в § 5. При paBHOMepHO~! вращении ручки движение точки

подвеса маятника позволяет нам осуществить Д е й с т в и е

н а м а я т н и к г а р м о Н.И ч е с к о й с и л ы. Период

изменения этой силы равен, очевидно, периоду вращения

ручки.

Когда мы начинаем равномерно вращать ручку, груз

приходит в движение, которое первоначально бывает до­

вольно сложным. Но спустя несколько оборотов ~fЫ уви­

дим, что движение груза стало правильным периодическим

колебанием. При этом, с какой бы скоростыо мы ни вра­

щали ручку, у с т а н о в и в ш е е с я колебание груза будет происходить С периодом, равным периоду вращения РУЧКИ. Таким образом:

1) в колебателыtoй системе, на которую действует периодически мен,ЯIOщаяся сила, устан,ШJливается neриоди-

34

ческое движение; в отличие от собственных колебаний пе.

риодические движения такого рода называются вынужден­

нылш колебаниями;

2) период вынужденных колебаний равен периоду дейс,n­

вующей силы.

Из-за наличия трения и других потерь энергии свобод­

ные колебания, как мы видели, затухают. ОНИ ЯВЛЯЮТСЯ

незатухающими лишь в идеальном случае полного отсут­

ствия всякого трения (собственные КО:Iебания). Вынужден­ ные же l<олебания, нес\!Отря на наличие трения, являются

действительно пер ИОДIJчеСКJ!МИ, повторяющшшся все вре:.1Я,

пока действует пеРИОДI!ческая СИ.1а. Это объясняется Te;Vl, что при вынужденных колеб.JННЯХ энергия, затрачивае;vraя на трение, воспоml51еТС51 Jlепрерывно за счет работы дейст­

вующей на СИСТбlУ пеРJIO;U1ческой силы, тогда как при сво­ бодных lилебаJlJ!ЯХ запас энергии сообщается системе только

в нача.1е движения, !I движение lJродолжается лишь до тех

пор,	пока этот	запас не исчеРlJается.
§ 13.	Резонанс.	Обратим теперь	внимание на а м п л и­
т у Д у вынужденных колебаний			груза в том опыте, кото­

рый описан в предыдущем lJараграфе. При различных ско­

ростях вращения ручкн, т. е. при различных периодах

вынуждающей силы, эта амплитуда далеко не одина­

lива.

ЕСЛJl мы будем вращать ручку очень медленно, скажем,

делать один оборот за 3-5 с, то груз вместе с ПРУЖИJIОЙ

будет перемещаться вверх и вниз так же, как и точка А.

Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний груза будет почти та]{ая же, как !I а:vmлитуда точки А (рис. 25). При БО.1ее БЫСТРО;Vl вращении груз начнет колебаться СИ.1Ь­

нее. Раз;vraх вынужденных колебаний станет очень боль­

ШИ;Vl - в несколько раз БО"lьше Ю.Ш.1ИТУДЫ точки А,­

если период вращения РУЧК!I, т. е. I1ериод силы, сделать

б.1ИЗКИМ к собствеННО;VlУ периоду колебаний груза на пру­

ЖJlне. Однако при еще более быстром вращении ручки мы увидим, что амплитуда вынужденных колебаний опять становится меньше. Очень быстрое вращение ручки оставит

груз почти неподвижным.

То же самое легко наблюдать и на вынужденных коле­

баниях маятника. Периодическую СIIЛУ в этом случае проще всего создать посредством покачивания стойки, на которой

подвешен маятник.

Эти и многочисленные аналогичные опыты показывают,

что при действии периодической силы на колебательную

2*

ЗS

систему особенное значение имеет случай, когда период изменения силы совпадает с периодом свободных колебаний

системы.

Совпадение лер!Ю,'Ха свободных колебаний систе:VIЫ с

периодом внешней силы, действующей на эту систему, на­

зывается резонанса},!. Таким образом, амплuтудаВblнужден­

ного колебания достигает наибольшего значеliИЯ при резо­

нансе.

Явления, возникающие при резонансе (например, уста­

новление максимальной а:vшлитуды вынужденных ко­

лебаний), называют резона1-lClibl,НU явлеНUЯАЩ. Про си­ лу, период которой совпадает с периодом свободных

колебаний и которая вызывает тем самым наибольшую рас­

качку, наllбольший «отклию> колебательной системы,

говорят, что она дейст в у е т в рез о н а н с. Про си­

стему, период которой равен периоду силы, говорят, что

она н а с т р о е н а				в	рез о н а н с.		Разумеется,			если
затухание мало, так				что период		свободных		колебаний
		I	I		близок к собственному перио­
					ду (§ 11), под резонансной
		~О			настройкой		можно		понимать
I					совпадение		периода		вынуж­
					дающей	силы с		собственным
			)		периодом.
	(j	1	7		Явление резонанса нагляд­
		1;			но демонстрируется				и	сле­

2дующим простым опытом. На рейке подвешен массивный

маятник 1 и легкие маятни­

	ки	раз н о й	Д",ины, т. е.
	раз л и ч н ы х		периодов
Рис. 26. Демонстрация резонан­ (рис.		26).
са на маятниках	3aCTaBH:V! маятник 1качать-
	ся В	П"'ОСIЮСТИ,	перпендику­

лярной к рейке. Его качания вызовут периодическое из­ гибание рейки, так что на все остальные маятники через их точки подвеса будет действовать сила с периодом маятника 1. Мы УВИДИМ при этом, что маятники 2 и 3, У которых пе­ риоды наиболее отличаются от периода маятника 1, оста­ нутся почти неподвижными, т. е. их амплитуды будут очень малы. ЛIаятники 4 и 5, более близкие по своим периодам к маятнику 1, будут колебаться с немного большей амп­ литудой. Наконец, маятники 6 н 7, имеющие ту же длину, что и маятник 1, т. е. настроенные в резонанс, раскачива­ ются до очень большой амплитуды.

36

§ 14. Влияние трения на резонансные явления. Существую­

щее в системе трение, обусловливающее затухание ее сво­

бодных колебаний, имеет для резонансных явлений очень

большое значение. В этом легко убедиться, наблюдая BЫ~ нужденные колебания пружинного маятника (рис. 25) при

различном трении. Для увеличения затухания можно

воспользоваться по-прежнему опусканием груза в воду

или масло.

Если груз колеблется в воздухе, то при совпадении пе·

риода вращения РУЧIШ раскачивающего механизма (периода

силы) с собственным периодом системы раскачка nOJ1Y-

чается очень сильная - амплитуда колебаний груза в не­

сколько раз больше амплитуды точки А раскачивающего

механизма. Однако стоит лишь немного ускорить или за­

медлить вращение ручки, как амплитуда колебаний груза рез к о уменьшится. Таким образом, если затухание си­ стемы небольшое, то резонансные явления оказываются силь­ НblМИ и резко выраженными (острый резонанс): при ТОЧНОМ резонансе раСЕачка очень велика, но уже при небольшой

р а с с т рой к е (расхождении периода силы и периода собственных колебаний системы) амплитуда вынужденных

колебаний значительно уменьшается.

Наоборот, в случае з а Д е м пф и р о в а н н о й си­ стемы, т. е. системы с увеличенным затуханием (например. груз движется в воде), амплитуда вынужденных колебаний

при точном резонансе не очень сильно превышает амплитуду

колебаний точки А; зато при уходе от резонанса в ту или

другую сторону уменьшение амплитуды происходит не так

резко. Например, ускорив вращение ручки вдвое по срав­ нению с резонансной частотой вращения, мы увидим, что

колебания груза, опущенного в воду, станут лишь немного

меньше, чем при резонансе. Колебания же груза в воздухе

при таком укорочении периода силы уменьшатся в несколько

раз. Таким образом, если затухание велико, то резонансные явления получаются слаБЫ.ми и выраженными неотчетливо

(тупой резонанс): увеличение амплитуды при точном резо­

нансе относительно невелико, и заметное спадание ампли­

туды происходит лишь при больших расстройках.

Эти	результаты	иллюстрирует	график, изображенный
на рис.	27. На нем	показаны так	называемые резонансные

кривые, дающие зависимость амплитуды вынужденных коле­

баний от их частоты, т. е. частоты силы, действующей на систему. На графИJ(е показаны две кривые, соответствую­

щие малому и большому затуханию. Первая имеет узкий и

высокий максимум, вторая - низкий и пологий. Следует

37

обратить ВНИМ'5ние на ТО, IПO первая КРИВМI ~ с ю Д у

проходит выше второй, "г. е. при в с я к о й частоте силы ам­ плитуды вынужденных колебаний тем больше, чем мен-ьше

				затухание, но при точном ре­
				зонансе различие				амплитуд
				в случаях малого и боль­
				шого затухания особенно ве­
				лико.
				Кроме того, максимум кри­
				вой	2 несколько сдвинут вле­
				во	от	максимума		кривой 1,
				т. е. соответствует немного
				меньшей частоте силы. Это
				связано с увеличением пе­
				риода		свободных		колебаний
	Частота. силО!			при	возрастании			затухания.
Рис.	27.	Резонансные	кривые	Следует			твердо	помнить,
при	малом	затухании (1) и при		что резонансные кривые дают
	большом затухании		(2)
				значение			у с т а н о в и в-

шей с я амплитуды. Колеба­ ния с такой амплитудой устанавливаются не сразу, а в тече­

ние некоторого времени от того момента, когда сила начала

действовать на систему. Мы уже отметили это явление в § 12, когда описывали возникновение вынужденных коле­ баний груза на пружине.

Как долго продолжается этот процесс установления?

На это легко ответить, если учесть, что в первый момент, когда перио­ ДИ'Iеская сила начинает действовать на систему, в пос,тедней возникают наряду с вынужденными колебаниями также и свободные колебания. Первоначальное движение системы именно потому и является сложным, что 0110 представляет собой сумму двух движений: вынужденных коле­ баний с частотой силы и свободных колебаний с их частотой. Но сила поддерживает только вынужденное колебание, свободные же колебания

затухают, и, следовательно, движение системы постепенно «очищается»

от них. Остаются только вынужденные колебания.

Таким образом, процесс установления вынужденных колебаний со­ стоит в том, что затухают nРIМtеШaftные к ним свободные колебания, возбудившиеся в тот мо,иенm, когда начала действовать сила. Поэтому процесс установления вынужденных колебаний занимает такое же время,

как и процесс затухания свободных колебаний. А это означает следую­

щее: при очень мало,u затухании системы резонанс/юя амплитуда очень

велика, но зато и раскачка до этой а,иnлитуды длится долго. Наобороm,

при большом затухании систеА!Ы резонансная амплитуда невелика, но устанавливается быстро. Это надо учитывать, выполняя описанные

выше опыты.

§ 15. Примеры резонансных явлений. Резонанс играет

очень большую роль в самых разнообразных явлениях,

38

причем в ОДНИХ - полез.ную, в других - вредную. Приве­

дем несколько примеров, относящихея к механич~ским ко­

лебаниям.

Идя по дос!{е, перекинутой через ров, можно попасть

шагами в резонанс с собственным периодом системы (доски с человеком на ней), и доска начинает тогда сильно колебать­ ся (изгибаться вверх и вниз). То же самое может случиться

и с мостом, по которому проходит войсковая часть ил!!

проезжает поезд (периодическая сила оБУСЛОВJllшается ударами ног ШIИ ударами колес на стыках рельсов). Так, например, в 1906 г. в Петербурге обрушился так называе­ мый Египетский мост через реку Фонтанку. Это ПРОИЗОШJIО

при переходе через мост кавалерийского эскадрона, причем четкий шаг лошадей, ОТJIИЧНО обученных церемониальному

маршу, попал в резонанс с периодом моста. Для преДОТi~ра­

щення таких случаев войсковым частям при переходе через мосты приказывают обычно идти не «в ногу», а вольным ша­

гом. Поезда же большей частью переезжают мосты Шl мед­ ленном ходу, чтобы период ударов колес о стыки рельсов был значительно больше периода свободных колебаний MOC~ та. Иногда применяют обратный способ «расстройки» пе­

риодов: поезда проносятся через мосты на максимальной

скорости.

.

Случается, что период ударов колес на стыках рельсов совпадает с периодом колебаний вагона на рессорах, и вагон

тогда очень сильно раскачивается. Корабль также имеет

свой период качаний на воде. Если морские волны попадают в резонанс с периодом корабля, то качка становится осо­

бенно сильной. Капитан меняет тогда скорость корабля или его курс. В результате период волн, набегающих на корабль, изменяется (вследствие изменения относительной скорости корабля и волн) и уходит от резонанса.

Неуравновешенность машин 11 двигателей (недостаточ­ ная центровка, прогиб вала) является причиной того,

что при работе этих машин возникает периодическая сила, действующ~я на опору машины - фундамент, корпус ко­ рабля и т. п. Пери)д силы может совпасть при этом с пе­ риодом свободных колебаний опоры или, например, с пе­ риодом колебаний изгиба самого вращающегося вала или с

периодом крутильных колебаний этого вала. Получается

резонанс, и вынуждеRные колебания могут быть настолько сильны, что разрушают фундамент, ломают валы и т. д. Во

всех таких случаях принимаются специальные меры. чтобы

избежать резонанса или ослабить его действие (расстр-ойка

периодов, увеличение затухания - демпфирование и др.).

39

Очевидно, для того чтобы с помощью наименьшей перио­

дической силы получить определенный размах вынужден­

ных колебаний, нужно действовать в резонанс. Тяжелый

язык большого КОЛОКОЛа может раскачать даже ребенок,

если он будет натягивать веревку с периодом свободных

колебаний языка. Но самый сильный человек не раскачает

язык, дергая веревку не в резонанс.

На явлении резонанса основано действие прибора, пред­

назначенного для определения частоты переменного тока,

сила которого изменяется по гармоническому закону (см. том 11, § 153). Такие приборы, носящие название язычковых частотомеров, обычно применяются для контроля постоян­

ства частоты в электрической сети. Внешний вид прибора

изображен на рис. 28, а. Он состоит из набора упругих

а)

о)

Рис. 28. Язычковый частотомер: а) внешний вид; б) схема устройства

пластинок с грузиками на концах (язычков), причем массы

грузи ков и жесткости пластинок подобраны так, что ча­

стоты соседних язычков отличаются на одно и то же число

герц. У частотомера, изображенного на рис. 28, а, частоты

язычков идут через каждые 0,5 Гц. Эти частоты написаны

на шкале против язычков.

Устройство частотомера	схематически	показано на
рис. 28, б. Исследуемый ток	пропускается	через обмотку

электромагнита. Колебания якоря передаются планке, с которой связаны основания всех язычков и которая укреп­ лена на гибких пластинках. Таким образом, на каждый

язычок действует гармоническая сила, частота· которой

40

равна частоте тока. Язычок, попавший в резонанс с этой силой, колеблется с большей амплитудой и показывает на

шкале свою частоту, т. е. частоту тока.

В дальнейшем МЫ еще не раз встретимся с явлением ре­

зонанса, когда будем изучать звуковые и электрические

колебания. Именно эти колебания дадут нам особенно яркие

примеры	п о л е з н о г о		применения		резонанса.
§ 16. Резонансные явления			при действии неr'армонической
периодической силы. В опытах,				описанных		в §§ 12-14.
периодическое воздействие			создавали		тела,	совершающие
г а р м о н и ч е с к о е		колебание		(движение нити в ме­
ханизме,	изображенном	на	рис. 25, массивный маятник).

В соответствии С этим действующая сила тоже менялась по закону гармонического колебания. К ЭТО:\fУ случаю и отно"" сится сделанное нами наблюдение, что сильная раскачка

получается	только при с о в п а Д е н и и	пер и о Д а
с и л ы с	с о б с т в е н н ы м пер и о Д о м	С и с т е мы.

Получится ли то же самое, если сила действует перио­

дически, но не по закону гармонического колебания, а как­

либо иначе?

Мы можем, например, периодически у Д а р я т ь маят­ ник, т. е. действовать коротки;vш повторяющимися толч­

ками. Опыт показывает, что в этом случае резонансные яв­

ления будут наступать	уже не т о л ь к о	при	о Д н о м­
е Д и н с т в е н н о м	пер и о Д е с и л ы. По-прежнему
мы будем наблюдать большую раскачку,		ударяя	маятник

один раз за период его свободных колебаний. Но сильная

раскачка получится и в том случае, если ударять маятник вдвое реже - пропуская одно качание, или втрое реже -

пропуская два качания, и т. Д.

Таким образом, из описанного опыта видно, что если

сила J.lеняется периодически, но не по гармоническому закону,

то она .может вызвать резонансные Я.8ления не толь к о при

совпадении ее периода с nepuoaoJll свободных колебаний систе­ мы, 11.0 и тогда, когда период силы в целое число раз длиннее

этого периода.

К такому же заключению приводит и следующая поста­

новка опыта: вместо о Д н о й колебательной системы (маят­

ника), на которую мы действуем п о о ч е р е Д н о силами разного периода, можно взять н а б о р однотипных систем

с различными собственными частотами и действовать на все эти системы о Д н о в р е м е н н о одной и той же периоди­ ческой силой. Чтобы резонансные явления были острыми,

системы должны обладать достаточно малым затуханием.

41

Воспользуемся СlIова набором маятников, но не таКIIМ, как

на рис. 26. Там длины наибольшего 11 наименьшего ~lаятни­

ков отличались лишь в два раза, т. е. собственные частоты

отличаЛIIСЬ лишь в VZ=I;4 раза. Теперь мы возьмем маят­

ники, собственные частоты, которых лежат в более широком

диапазоне и среди которых имеются, в частности, маЯТЮJI{И

с кратными частотами. Пусть, например, собственные ча­

стоты составляют 1/2; 3/4; 1; 5/4; 3/2 и 2 Гц. Соответствую­

щие ДЛИНЫ маятников будут равны прнБЮ!ЗlIтелыIO 100;

44.4; 25; 16; 1.1,1 и 6,3 см.	Этот набор показан на [111С. 29.
РаЗУ;"Iсется, и здесь '.1Ы	можем убедиться, что IIР]] дей­
СТ131111 г а р :\[ О Н И Ч е СJ{	о Й силы большую аМПЛJIТУДУ

		приоGретает только тот маят­
		ник, который наСТ[1оеll в ре­
		зонанс па частоту силы,
		ГаР:-'lОннческую силу hЮЖ­
		но создать преЖIШ:\[ сгюсобом,
		подвесив	J{ обl1\СЙ рей\\е ~lac­
		сивный маЯТI!!Jj-\ jJ СДС.18В его
		равным по Д"1!ШС kaKO\lY-.lнбо
		из ,lаЯТНИКОБ нашего !lа()ора.
		Опыт хорошо удастся !I n ТО'"
		с.lучае, если просто покачи­
		вать всю стойку pYKor'i, сооб­
		щая ей	гаР:\Юl!ичеСКJ1С		КО.lе-
1/гГц		6ания в	такт с КО.lс6аНI!Я'.1И
		одного из маятников,
		Именно этот ",аятннк !f бу­
		дет раскачиваться с 60:lыrюй
Рис, 29, Набор маятников,	час­	аМНЛIJТУДОЙ, остальные же ос­
тоты которых указаны на ри­		танутся практически 13 нокое.
CYHI,C		Картина получится			совсем
		иная, если вместо гар"'они­
ческого покаЧlIваНIIЯ стойки		сообщать ей резкие		периоди­
ческие толчки, т. е. действовать на все маятники с				пер и о­
Д Jj ч е с к о й, но уже	н е г а р 111 О Н II Ч е с к о й				силой.

Т о л к а я стойку с периодом самого длинного маяТника - один раз в 2 с, мы увидим, что раскачивается не только этот

маятник, но 11 другие, однако не в с е, а лишь те, собст­ венные частоты которых в Ц с л о е ч и с л о раз б о л Ь­

ш е, чем частота самого ДЛl!НIIОГО маЯТНИI{а (1/2 Гц). Иными

словами, КрО;'lе маятника с частотой 1/2 Гц, сильно раска­ чаются маятники с частотами 1, 3/2 и 2 Гц, остальные же

останутся почти в покое. Сопоставляя этот результат с

предыдущим, когда г а р м о н и ч е с к а я сила раскачи-

42

вала только о Д и н маятник, мы ЛрИ:ХО;ЩМ·1( такому заклю­

чению.

'Негармоническое nериодичеекое воsдейсmвие с периодо.",

трсюносильно oaHoBpe.J.teHHoMY действию гармонuчееких

сил с разными частотами, а именно, с частотами, кратными

наиболее низкой частоте v= I/T.

Это заключение, касающееся периодической с и л ы,

является лишь частньш случаем общей математической

теоремы, которую доказал в 1822 г. французский математик )Кан Батист Фурье (1768-1830). Теорема Фурье гласит: -всякое периодическое колебание периода Т ,может быть nредсmавлено в виде суммы гармонических колебании с nе­

риода.АЩ, рсюнымu Т, Т/2, Т/3, Т/4 и т. д., т. е. с частотами

'v= 11 Т, 2v, 3v, 4v и т. д.

Наl!60лее низкая частота v называется основной часто­ той. Колебание с основной частотой v называется первой

гармонuкой или основным тоном, а колебания с частотами

2v, 3v, 4v и т. д. называются высшими гармониками (второй, третьей, четвертой) или обертонами (первым - 2v, вто­

рым - 3v и т. д.).

Теорема Фурье - это математическая теорема совер­

шенно общего характера, позволяющая любую периодиче­

скую величину (перемещение, скорость, силу и т. п.) пред­

ставитЬ. в виде суммы величин (перемещений, скоростей,

сил и Т. ·п.), меняющихся по синусоидальному закону. ПриУ!енительно к рассматриваемой нами задаче о дей­

ствии негармонической периодической силы эта теорема

сразу же объясняет, почему можно раскачать маятник не

только толчками, следующими друг за другом с периодом,

равны~·л периоду маятника, но вдвое реже, втрое реже и т. д.

Пусть собственная частота маятника равна 1 Гц. Тол­

кая его один раз в секунду, мы создаем периодическую

силу, состоящую из следующих гармонических колебаний:

основного с частотой 1 Гц и обертонов с частотами 2, 3, 4 Гц

и т. д. Таким образом, в этом случае в резонанс с собствено но!! частотой маятника попадает о С н о в н о е гармониче­ ское колебание силы. Если толкать маятник через раз, т. е. один раз в 2 с, то сила будет состоять из основного колеба­

ния с частотой 1/2 Гц и гармоник с частотами 1, 3/2, 2, 5/2 Гц и т. д.

Следовательно, в этом случае маятник раскачивается

потому, что в резонанс действует пер вый о б е р т о н

силы. При толчках, повторяющихся через каждые 3 с,

с собственной частотой маятника совпадает в т о рой

о б е р т о н силы, и т. д.

41