Landsberg-1985-T3

циальная энергия наименьшая, а скорость и кинетическая

энергия достигают наибольшего значения.

Мы предположим, что силами трения маятника о во:Здух

и трением в точке подвеса можно пренебречь *). Тогда по закону сохранения энергии эта наибольшая кинетическая энергия как раз равна избытку потенциальной энергии в

положении наибольшего отклонения над потенциальной

энергией в положении равновесия.

Итак, при колебаниях маятника происходит периоди­ ческий переход кинетической энергии в потенциальную и

обратно, причем период этого процесса вдвое короче периода

колебаний самого маятника. Однако п о л н а я энергия

маятника (сумма потенциальной и кинетической энергий) все время постоянна. Она равна той энергии, которая была

сообщена маятнику при пуске, безразлично - в виде ли

потенциальной энергии (начальное отклонение) или в виде кинетической (начальный толчок).

Так обстоит дело при всяких колебаниях в отсутствие трения или каких-либо иных процессов, отнимающих энер­

гию у колеблющейся системы или сообщающих ей энергию.

Именно поэтому амплитуда сохраняется неизменной и

определяется начальным отклонением или силой толчка.

Те же самые изменения возвращающей силы P1 и такой же переход энергии мы получим, если вместо подве­

шивания шарика на нити заставим его кататься в верти­

кальной плоскости в сферической чашке или в изогнутом

по окружности желобе. В этом случае роль натяжения нити возьмет на себя давление стенок чашки или желоба

(трением шарика о стенки и воздух мы опять-таки пренебре­

гаем).

§ 8. Формула периода математического маятника. Период

колебаний физического маятника зависит от многих об­

стоятельств: от размеров и формы тела, от расстояния между центром тяжести и точкой подвеса и от распределе­

ния массы тела относительно этой точки; поэтому вычис­

ление периода подвешенного тела - довольно сложная за­

дача. Проще обстоит дело для м а т е м а т и ч е с к о г о

маятника. Из наблюдений над подобными маятниками можно

установить следующие простые законы.

1. Если, сохраняя одну и ту же длину маятника (рас­

стояние от точки подвеса до центра тяжести груза), под­ вешивать разные грузы, то период колебаний получится

*) Ниже, в § 11, мы примем во внимание силы трения.

24

один и тот же, хотя массы грузов сильно различаются.

Период математического маятника не зависит от массы

груза.

2. Если при пуске маятника отклонять его на разные (но не слишком большие) углы, то он будет колебаться с

одним и тем же периодом, хотя и с разными амплитудами.

Пока не слишком велики амплитуды, колебания достаточно

близки по своей форме к гармоническому (§ 5) и период

математического маятника не зависит от амплитуды

колебании. Это свойство называется изохронизмом (от гре­

ческих слов «изос» - равный, «хронос» - время).

Впервые этот факт был установлен в 1655 г. Галилеем

якобы при следующих обстоятельствах. Галилей наблюдал в

Пизанском соборе качания паникадила на длинной цепи, которое толкнули при зажигании. В течение богослужения

размахи качаний постепенно затухали (§ 11), т. е. ам­

плитуда колебаний уменьшалась, но период оставался одним и тем же. В качестве указателя времени Галилей поль­ зовался собственным пульсом.

Выведем теперь формулу для периода колебаний мате­

матического маятника.

		о
		J
		J
		J
		I
		I
		I
		J
		J
		,
		J
		J
		I
		I
		I
		I
	-- ' --
	(----ёt-=:.1':-:-
A~	'-------1::
		\
	~\
\		\
\	\	\	\
0.)	р	lY)	р
			л
Рис. 16. I(олебания маятника в плоскости (а)		и движение по конусу (6)

При качаниях маятника груз движется ускоренно по

дуге БА (рис. 16, а) под действием возвращающей силы Р1,

которая меняется при движении. Расчет движения тела под действием непостоянной силы довольно сложен. Поэтому мы для упрощения поступим следующим образом.

25

Заставим маятник совершать не колебание в одной ПЛ{)­

скости, а описывать конус так, чтобы груз двигался: 'по ок­

ружности (рис. 16, б). Это движение может быть получено в

результате сложения двух независимых колебаний: од­

HO.ro - по-прежнему в плоскости рисунка и другого - Б

перпендикулярной плоскости. Очевидно, периоды обоих этих плоских колебаний одинаковы, так как любдя пло­

скость качаний ничем не отличается от БСЯКОЙ другой.

СледоВдТельно, и период СЛОЖIЮГО движения - обращения

маятника по конусу - будет тот же, что и период кача­

ния в .одноЙ плоскости. Этот вывод можно легко иллюстри­

ровать непосредственным опытом, взяв два одинаковых

маятника и сообщив одному из них качание в плоскости,

адругому - вращение по конусу.

Но период обращеНI!Я «конического» маятника равен длине описываемой грузом окружности, деленной на

скорость:

Если угол отклонения от	вертикали н е в е л и к (ма­
лые амплитуды!), то можно	считать, что возвращающая

сила Р1 направлена по радиусу окружности ЕС, т. е. равна

центростремительной силе:

с другой стороны, из подобия треугольников ОВС и DBE

следует, что ВЕ: BD=CB : ОВ. Так как OB=l, СВ=г,

BE=P1 , BD=P=mg, то отсюда

Р __ r·mg

1 - 1

Приравняв оба выражения Р1 друг другу, мы ПО.'Iучаем

для скорости обращения

,r-

и= r у ~ .

Наконец, подставив это в выражение периода Т, находим

Т=2п Vi.

Итак, период матемаТllческого маятника зависит только

от ускорения свободного падения g 11 от длины маятника 1,

т. е. расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза.

Из полученной формулы следует, что период маятника не

26

зависит от его массы и от амплитуды (Пf>PI условии, что она достаточно мала). Другими словами, МЫ ПОJIУЧИЛИ путем

расчета те OCI'IOBHble законы, которые были установлены ранее из наблюдений.

Но наш теоретический вывод дает нам больше: он позво­

ля.ет установить к о л и ч е с тв е н н у юзависимость

между периодом маятника, его длиной и ускорением свобод­

ного падения. Период математического маятника nроnор­

ционален корню К8адратному из отношения длины маятника к ускорению свободного падения. Коэффициент пропорцио­

нальности равен 2л.

На зависимости периода маятника от ускорения свобод­

ного падения основан очень точный способ определения этого

ускорения. Измерив длину маятника 1 и определив из боль­

шого числа колебаний период Т, мы можем вычислить с помощью полученной формулы g. Этот способ широко ис­

пользуется на практике.

Известно (см. том 1, § 53), что ускорение свободного падеиия зависит

от географической широты места (на полюсе		g=9,83 м/с2, а иа эквато­
ре g=9,78 м/с2). Наблюдения	над периодом	качаний	некоторого	эта­
лонного маятника позволяют	изучить распределение		ускорения	сво­

бодного падения по широте. Метод этот настолько точен, что с его по­ мощью можно обнаружить и более тонкие различия в значении g на земной поверхности. Оказывается, что даже на одной параллели зна­

чение g в разных точках земной поверхности различно. Эти а н о м а­

л и и в распределенин ускорения свободного падения связаны с нерав­ номерной плотностью земной коры. Онн используются для изучения распределения плотности, в частности для обнаружения залегания в тол­ ще земной коры каких-либо полезных нскопаемых. Обширные г р а в и­

м е т р и ч е с к и е нзмерения, позволившие судить о залегании плот­

ных масс, были выполнены в СССР в области так называемой Курской магнитной аномалии (см. том II, § 130) под руководством советского физика Петра Петровича Лазарева. В соединении с данными об анома­

лии земного магиитного поля эти гравиметрические данные ПОЗВQ,1шли

установнть распределение залегания железных масс, обусловливающих

Курскую магнитную и гравитационную аномалии.

§ 9. Упругие колебания. У маятника возвращающая

сила обязана своим возникновением силе тяжести. Но для колебаний существенно только само наличие возвращаю­

щей силы, т. е. такой силы, которая всегда направлена к положению равновесия и, вообще говоря, увеличивается с

удалением от этого положения. Такого рода силы возни­

кают также при деформации твердых тел и представляют

собой упругие силы (см. том 1, § 58). Следовательно, эти упругие силы тоже могут вызывать колебания. По про­

исхождению возвращающей силы такие колебания назы­

ваются упругими. Выше мы уже приводили ряд примеров.

27

Колебания тела, подвешенного на пружине (такое устрой­ ство часто называют пружинным маятником), вагона на

рессорах, пластинки, зажатой в тиски, колебания камер­ тона, натянутой струны, моста, фундамента, фабричной трубы или высокого здания - все это упругие колебания.

В соответствии с иным происхождением возвращающей

силы потенциальная энергия упругих		колебаний есть
1	энергия	деформации
~~~~~~~~:Jmm1~~	у пру г о г о те л а, а не по­
	тешщаJ1ьная энергия силы тя-
2	жести, как у 'v!аятника. В ос-

тальноы дина,,!ика упругих

.-;:--

f."'](]()(](n;n;~

.IJffliJWi1w"\....J-vvvvvvvvvvry

1,

---~

Рис. 17. Колебании тела на nру-

ЖlIнах

колебаний та же, что и у

маятника. и здесь мы И'v!еем

дважды за период переход ки-

нети ческой энергии в потен­ циальную (энергию деформа­ ции) и обратно.

Особенно просто просле-

дить все стадии этого процес-

са, наблюдая тело, например

шарик, колеблющееся на пру­

жинах. В этом случае можно считать, что энергия дефор­ мации имеется только у пружин, а не у шарика, деформа­

цией которого "южно пренебречь. Если же масса тела велика

по сравнению с ,,!ассой пружин, то можно считать, что кине­

тическая энергия имеется только у тела, а не у пружин, мас­

сой которых мы пренебрегаем. Таким образом, переход

энергии из кинетической в потенциальную и обратно явля­

ется вместе с тем переходом энергии от тела к пружинам и

обратно.

На рис. 17 показавы четыре положения такой колеба­

тельной системы, взятые через каждую четверть периода.

Вположении 1 тело напболее сильно отклонено вправо,

одна пружина сжата, другая растянута, скорость и кинети­

ческая энергия равны нулю, вся энергия потенциальная.

В положении 2 ПРУЖ!lНы не деформированы, тело с наи­ большей скоростью проходит через положение равновесия, РСЯ энергия кинетическая. В положении 3 происходит то же, что и в положении 1. В положении 4 отличие от поло­

жения 2 только в направлении скорости.

Взяв при тех же ПРУЖlIнах тело с большей массой, легко

убедиться, что частота колебаний уменьшится. С помощью

секундомера можно убедиться в том, что четырехкратное

увеличение массы тела удлиняет период колебаний (т. е.

28

уменьшает их частоту) в два раза. При массе, увеличенной

в девять раз, период увеличится в три раза. Период упругих к.о.ле6аниЙ nроnорционален квадратному корню из массы тела. Эrот результат будет получаться на опыте тем точнее,

чем лучше выполнены описанные условия, когда можно

считать массу сосредоточенной в одной точке (центре тя­ жести тела) и не принимать во внимание массу пружин.

Однако во всех случаях у в е л и ч е н и е м а с с ы упру­

гой колебательной системы в л е ч е т з а с о б о й	з а­
медление колебаний, увеличение	их

пер и о да.

Проделаем теперь опыт, оставив тело прежней массы, но заменив пружину более жесткой. Мы тотчас же увидим, что

период колебаний уменьшился. Таким образом, период

упругих колебаний тел! меньше, чем больше жесткость nру­

жиНbl, т. е. чем лtеньше упругость системы.

Исследованне упругих колебаний груза на пружине показывает, что при не слишком больших амплитудах эти колебания являются гар-

моническими, причем период их выражается	фор·	-' ' ,
мулой, аналогичной формуле математического	ма·

ятника:

г-

Т=2л У :.

Здесь т - масса колеблющегося груза, k - жест­ кость пружины, т. е. сила, необходимая для рас­

тяжения пружины на единицу длины.

§ 10. Крутильные колебания. Важным случаем упругих колебаний являются так

называемые крутильные колебания, при

которых тело :п о в о р а ч и в а е т с я ту-

да и обратно около оси, проходящей через

его центр тяжести.

Если, например, подвесить на прово­

локе диск (рис. 18), повернуть его так, чтобы проволока закрутилась, и затем

Рис. 18. I(ру­

тильные колеба­

ния диска, под­ вешенного на проволоке

отпустить, то диск начнет раскручиваться, закрутится в об­

ратную сторону и т. д., т. е. будет совершать крутильные колебания. При этом также дважды за период имеет место переход кинетической энергии движущегося диска в по­

тенциальную энергию (энергию деформации) закручиваю­ щейся проволоки и обратно. Крутильные колебания нередко

имеют место в валах двигателей, в частности в гребных

валах теплоходных машин, и при известных условиях, о

которых речь будет ниже, могут оказаться очень вредными

(§ 15).

29

в ручных и карманных часах нельзя использовать под­

весной маятник; в них применяется так называемый балШ/сuр

(рис. 19) - колесико, к оси которого прикреплена спираль­

Ная пружина (<<волосок»). Бал ансир периодически пово­

рачивается туда и обратно, причем при этих крутильных

колебаниях пружинка изгибается (раскручивается и за­ кручивается) в обе стороны от своего равновесного состоя­ ния. Таким образом, балансир представляет собой к Р у­

т и л ь н ы й м а я т н и к.

Г'ис. 19. Часовой балансир

Для периода крутильных колебаний сохраняют силу

те же закономерности, что и для периода любых упругих

колебаний: период тем больше, чем меньше жесткость си­ стемы и чем больше ее масса (при неизменной форме).

При крутильных колебаниях существенна НС только масса тела, но

и ее распределение относительно оси вращсrrия. Ес,~и, например, мы

подвесим на проволоке гаrrтель, состоящую нз сгпщы, на которую сим­

метрично насажены два одииаковых груза 1 и 2 (рис. 20), то при раз­ двигании грузов частота крутильных колебаний будет уменьшаться, хотя

масса гантели остается прежнеЙ. Остав:]яя грузы I и 2 на прежних ме­

		стах, но	беря	их	более массивны­
		ми, мы	увидим,		что	частота	тоже
		де.~ается меньше.
		КrУТИЛЫIJ,Jе колебания при не­
		бо.%ших углах закручивания .(ма­
		лых угловых амплитудах) также яв­
		ляются гармоническими. Период их
--_...		определяется		соотношением
			Т=2л vi,
..........	-~
Рис. 20. Крутильные колебания		где k -
	гантели		жесткость системы. Числен-
		но жесткост/, k равна				вращающему
моменту, дающему поворот на		радиан. ЕСJlИ упругие силы обусловле­
ны закручиванием нити или IlрОВОЛОКИ, ТО k			- это так называемая				кру­

тильная жесткость этих тел. Величина 1 характеризует распределение массы относительно оси вращения (так назыJJемыый момент (терции, иг­

рающий во вращательном движении такую же роль, какую играет масса

в поступательном движении). Например, для гантели I=2тг2, где

т - масса каждого груза, а г - расстояние 1)1' грузов до оси вращения.

30

§ 11. Влияние трения. Затухание. Рассматривая свободные колебания маятника, шарика с пружинами, ДИСl<:а и r. Д., мы

отвлекались до сих пор от явления, которое неизбежно

имеет место в каждом из описанных выше опытов и вслед­

ствие которого колебания не являются строго периоди­

ческими, а именно: амплитуда колебаний с каждым раз­

махом делается все меньше и меньше, так что рано или

поздно колебания прекращаются. Это явление называется

затуханием колебаний.

Причина затухания заключается в том, ЧТО во всякой колебательной системе, кроме возвращающей силы, всегда действуют разного рода силы трения, сопротивление воздуха и т. п., которые тормозят движение. При каждом размахе

часть полной колебательной энергии (потенциальной и кинетической) расходуется на работу против сил трения. В конечном счете на эту работу уходит весь запас энергии,

сообщенный	колебательной	системе первоначально (см.
том 1, §§ 102-104).
Затрата энергии на работу против сил трения может
иметь весьма	разнообразный	характер. Возможно трение

между твердыми поверхностями, например трение призмы

коромысла весов об опору. Энергия может затрачиваться

на преодоление сопротивления среды (воздух, вода) (см.

том 1, § 64, 65). Кроме того, колеблющиеся тела приводят

в движение окружающую среду, отдавая на это при каждом

колебании часть своей энергии (см. том 1, § 67). Наконец,

сами деформации пружин, плаСТИНОI<, проволок и т. д. тоже происходят с некоторой потерей энергии на внутрен­

нее трение в материале, из которого эти тела сделаны (см.

том 1, § 202).

Незатухающие свободные колебания, KomOpbte происходи­

ли бы в колебательной системе в отсутствие трения, назы­ ваются собственными колебаниями системы.

Отвлекаясь до сих пор от сил трения, мы рассматривали,

таким образом, именно эти идеальные, строго периодиче­

ские собственные колебания, чем сознательно упрощали себе изучение колебаний за счет несколько неточного их

описания. Такое упрощение является, однако, возможным и

пригодным только потому, что у многих колебательных си­

стем трение и вызываемое им затухание Д е й с т в и т е л ь­ н о м а л ы: система успевает совершить очень большое

число колебаний, прежде чем их амплитуда уменьшится заметным образом. При изучении таких систем с достаточ­

но малым затуханием можно для очень многих вопросов

совсем не учитывать этого затухания и считать свободные

31

колебания системы строго периодическими, т. е. рассмат,

ривать с о б с т в е н н ы е колебания, как это мы и делали

выше.

Колебание, которое в отсутствие затухания было бы

гармоническим (собственное колебание), при наличии зату­

хания, конечно, перестает быть гармоническим; более того,

\ Г\ f\ f\ f\ fVLf\ {\ -VlJ VlJ \ГV V V

Рис. 21. Неззтухающие колебания

благодаря затуханию движение уже не будет и периоди­ чеСКИ~I. Его осциллограмма представляет собой не IIOBTO- рЯЮЩУЮСЯ ЛИНИЮ (рис. 21), а линию, размахи КОТОРОЙ

делаются все меньше и меньше (рис. 22). Увеличивая тем

\ г\ /\ 1\ А r-. " ~~

VVv~"

Рис. 22. Затухающие колебания

или иным с[юсобом трение, мы можем дойти до столь боль­

ших затуханий, при которых система останавливается после

первого же размаха, или даже до первого перехода через

положение равновесия (рис. 23). Такие СИЛЬНО затухающие движения колебательной системы называются апериодиче­

скими.

Рис. 23. Апериодические движения

Воспользовавшись колебаниями груза на пружине, легко наблюдать рост затухания при увеличении трения. Если груз поместить в воду, то затухание колебаний резко возрастет по сравнению с затуханием в воздухе. В масле оно будет еще больше, чем в воде: движение получится

апериодическим или близким к апериодическому. Чем менее

обтекаемой является форма груза (при той же массе), Te'll

больше затухание, так как тем больше энергии отдается на приведение В движение окружающей среды (см. том 1,

§ 190).

На практике встречается надобность как в уменьшении, так и в увеличении затухания. Например, ось балансира часов кончается ост­

риями, которые упираются в хорошо отполированные конические под­

пятники из твердого камня (агата, рубина). Это делается для того, чтобы балансир имел малое затухание. Наоборот, во многих измерите.1ЬНЫХ приборах желательно, чтобы подвижная

часть устройства устанавливалаСI, при из­

мерениях быстро, не совершая БОЛЫIIОГО

ЧИCJIа колебаний, или даже аflериодичсс­ ки. С этой целью примеllЯIOТСЯ раЗЛНЧllые демпферы - устройства, увеличивающие

трение и вообще потерю энергии. Испою,­

зуются пластиики, прикрепленные к под­

вижной части прибора и погруженные в

маС,10; применяются электромагнитные

демпферы (рис. 24), основанные на тормо­

жении, которое испытывает ;щижущаяся

между полюса~!И электромагнита металли­

ческая пластинка б.1агодаря ВОЗНИКi]ЮЩЮ! в ней при этом вихревым электричсски~!

токам (см. том 11, § 143), и т. д.

Трение влияет не только на амп­ литуду колебаний (затухание), но и

на продолжительность размахов.

.мы не можем называть эту про­

должительность периодом, так как

Рис. 24. Лlаятник, демп­

фированный Вl!хревым

Э,1ектрическим током

затухающее колебание - движение непериодическое. Одна­

"о если затухание невелико, то условно можно говорить о периоде, понимая под этим время между двумя прохожде­

ниями в одном и том же направлении через положение

равновесия. С у ве л и ч е н и ем тр ен и я период у д­

линяется.

Характерной чертой колебательных систем является то, что влия­ ние н е б о л ь ш о r о трения на период колебаний гораздо меньше, чем на амплитуду. Это обстоятельство сыграло огромную роль в усо­ вершенствовании часов. Еще ГаmJлей высказал мысль об использова­

нии в часах ыаятника, т. е. коаебателыJOЙ системы.

Первые часы с маятником ностроил голландский физик и матема­ тик Христиан Гюйгенс (1629-1695) в 1673 г. Этот год можно считать датой рождения cOBpe~leH!lЬJX часов, вытеснивших затем B~e предшест­

вующие часовые устройства. Пrонзош.lО это в большой ыере пото\!у, что

ход часов с ыаЯТНИКО~1 очеlJЬ ыало чувствителен к ИЗ~lенениям такого

зависящего от многих обстоятельств фактора, как трение. У прежних же

6езмаятниковых часов (например, !JОДЯНЫХ - см. том 1, § 8) скорость

хода зависела от трения очень сильно.

2 Элементарный учебник физики. т. 111

зз