2.3. Средняя квадратическая ошибка единицы веса

Дан ряд результатов неравноточных измерений

x₁ , x₂ , . . . , x_n ;

m₁ , m₂ , . . . , m_n .

Cоответственно

(2.22)

Как видим из равенств (2.22) , всегда найдется такое соотношение, когда , т.е. коэффициент С есть не что иное, как средняя квадратическая ошибка измерения, вес которой равен единице и которая в отличие от остальных средних квадратических ошибок обозначается и называется ошибкой единицы веса.

Тогда

(2.23)

Следовательно,

(2.24)

В соответствии с (2.24) можно записать

(2.25)

или (2.26)

т.е. cредняя квадратическая ошибка любого результата измерения равна ошибке единицы веса, деленной на корень квадратный из веса соответствующего результата.

2.4. Вычисление весов функций

2.4.1. Вес функции независимых величин

Определим вес функции

(2.27)

При этом известны веса аргументов p₁ , p₂ , . . . , p_n. В случае независимых величин имеем

(2.28)

Разделим обе части равенства (2.28) на ²

так как то окончательно имеем

(2.29)

2.4.2. Вес функции неравноточных слагаемых

Дана функция вида

F = x₁ + x₂ + . . . + x_n , (2.30)

где x_i - результаты неравноточных измерений с соответствующими весами: p₁, p₂ , . . . , p_{n .}

Требуется определить вес функции F . Cогласно (2.29) будем иметь

(2.31)

Обратный вес суммы неравноточных слагаемых равен сумме обратных весов.

2.4.3. Вес суммы равноточных слагаемых

Дана функция вида (2.30), в которой x_i являются результатами равноточных измерений, т.е. p₁ = p₂ = . . . = p_n = p. Тогда вес такой функции определится из равенства (2.31)

(2.32)

Откуда

(2.33)

Вес суммы равноточных слагаемых в n раз меньше веса одного измерения.

2.4.4. Вес простой арифметической средины

Поскольку простая арифметическая средина вычисляется согласно формуле

(2.34)

ее средняя квадратическая ошибка будет равна

,

откуда

Переходя к весам, получим

или

(2.35)

Вес простой арифметической средины в n раз больше веса одного измерения.

2.4.5. Вес и средняя квадратическая ошибка

общей арифметической средины

Представив общую арифметическую средину в виде линейной функции

, (2.36)

cогласно равенства (2.29) получим

или

откуда

(2.37)

Вес общей арифметической средины равен сумме весов результатов измерений. Средняя квадратическая ошибка M среднего весового согласно формуле (2.26) вычислится

(2.38)

или (2.39)