4 Параметрический способ уравнивания

4.1. Параметрические уравнения

Пусть выполнено n измерений у₁, у₂, ..., у_n с весами p₁, p₂, ..., p_n; t - число необходимых измерений. Выбирают t независимых неизвестных - параметров - х₁, х₂, ..., х_t. Это могут быть измеряемые и неизмеряемые (отметки, координаты определяемых пунктов) величины. Y₁, Y₂, ..., Y_n - истинные значения измеренных величин; Х₁, Х₂, ..., Х_t - истинные значения параметров. Между этими значениями может быть установлена исходная система параметрических уравнений связи, в которой измеренные величины представлены в виде функций выбранных параметров

F_i(X₁, X₂, ..., X_t) = Y_i, (i = 1, 2, ..., n). (25)

С уравненными значениями измеренных величин и параметров система (25) принимает вид:

F_i(x₁, x₂, ..., x_t) = y_i + ν_i, (i = 1, 2, ..., n).

Или

F_i(x₁, x₂, ..., x_t) - y_i = ν_i, (i = 1, 2, ..., n). (26)

Функции F_i приводят к линейному виду разложением в ряд Тейлора. С этой целью вводят приближенные значения параметров х⁰₁, x⁰₂, ..., x⁰_t, которые вычисляют по результатам измерений. Тогда

x_j = x⁰_j + δx_j, (j = 1, 2, ..., t), (27)

где δх_j - поправки к приближенным значениям параметров.

На основании (26) с учетом (27) будем иметь:

Обозначим

- свободные члены параметрических уравнений поправок;

- коэффициенты параметрических уравнений поправок;

(28)

- параметрические уравнения поправок.

Систему (28) запишем в матричном виде:

А_ntX_t1 + L_n1 = V_n1, (29)

где

- матрица коэффициентов; - вектор поправок к приближенным значениям параметров;

- вектор свободных членов;  - вектор поправок к результатам измерений.

4.2. Нормальные уравнения

Параметрические уравнения поправок  решают по СНК, т.е. под условием [pv²] = min, в результате чего получают систему нормальных уравнений:

N_ttX_t1 + B_t1 = 0 (30)

Здесь

- матрица коэффициентов нормальных уравнений.

- вектор свободных членов.

Представим систему нормальных уравнений в обычном алгебраическом виде:

(31)

4.3. Составление нормальных уравнений

Для составления нормальных уравнений коэффициенты и свободные члены параметрических уравнений поправок помещают в таблицу (табл. 8) по строкам. Пусть t = 2.

Таблица 8

Таблица параметрических уравнений

S_i = a_i + b_i + l_i (32)

- контрольные суммы.

[S] = [a] + [b] + [l] - контроль S_i.

Контроль составления нормальных уравнений:

[paS] = [paa] + [pab] + [pal];

[pbS] = [pab] + [pbb] + [pbl];

[plS] = [pal] + [pbl] + [pll].

4.4. Весовая функция

Для оценки точности уравненных элементов геодезической сети составляют весовую функцию. Это - функция параметров. Оцениваемую величину выражают через параметры. Функцию приводят к линейному виду разложением в ряд Тейлора.

Обозначим

F(x⁰₁, x⁰₂, ..., x⁰_t) = f₀ - приближенное значение функции, обычно не вычисляется;

- частные производные функции по параметрам;

F = f₀ + f₁δx₁ + f₂δx₂ + ... + f_tδx_t = f₀ + F^T_1tX_t1 (33)

- весовая функция в линейном виде;

- вектор коэффициентов функции.

4.5. Решение нормальных уравнений способом обращения

Умножив систему нормальных уравнений N_ttX_t1 + B_t1 = 0 на обратную матрицу N^-1

получают:

(34)

(35)

- решение нормальных уравнений способом обращения.

По определению обратной матрицы, N^-1N = E. Это равенство используется для обоснования способа определения элементов обратной матрицы. Пусть t = 2.

Отсюда следует:

- 1-я система весовых нормальных уравнений.

- 2-я система весовых нормальных уравнений.

В общем случае в результате подобных действий получится t систем весовых нормальных уравнений по t уравнений в каждой системе. Эти системы имеют такую же матрицу коэффициентов, как и основная, с неизвестными δх_j и отличаются от нее только столбцами свободных членов. В j-ом уравнении j-ой системы свободный член равен -1, остальные равны нулю. Системы весовых нормальных уравнений решают параллельно с основной системой, в общей схеме, с использованием дополнительных столбцов для свободных членов этих систем (табл. 9).

Таблица 9

Определение элементов обратной матрицы в схеме Гаусса

Для контроля вычисленные значения элементов обратной матрицы Q_ij подставляют в суммарные уравнения, составленные для весовых систем. Например, для t = 2 эти уравнения будут иметь вид:

([paa] + [раb])Q₁₁ + ([pab] + [pbb])Q₁₂ - 1 = 0;

([paa] + [pab])Q₂₁ + ([pаb] + [pbb]) Q₂₂ - 1 = 0.

Для предварительного контроля служат равенства Q_ij = Q_ji (i ≠ j).

Элементы обратной матрицы Q_ij называют весовыми коэффициентами.