- •Ростовский государственный строительный университет
- •Раздел 1. Ошибки измерений и меры точности
- •1.1. Общие сведения об измерениях
- •1.2. Виды ошибок измерений
- •1.3. Свойства случайных ошибок
- •1.4. Принцип арифметической средины
- •1.5. Меры точности результатов измерений
- •1.6. Вероятностное обоснование применения теории ошибок измерений
- •1.7. Определение вероятности отклонения случайной величины от ее математического ожидания
- •1.8. Предельная ошибка результата измерения
- •1.9. Абсолютные и относительные ошибки
- •1.10. Ошибки округления
- •1.11. Ошибки функций измеренных величин
- •1.12. Типовые примеры
- •1.12.1. Функция произведения непосредственно измеренного аргумента на постоянный коэффициент
- •1.12.2. Функция линейного вида
- •1.13. Средняя квадратическая ошибка простой арифметической средины
- •1.14. Формула Бесселя
- •1.15. Влияние систематических ошибок на точность отдельных измерений
- •1.16. Оценка точности функции при наличии систематических ошибок
- •1.17. Оценка точности равноточно измеренных величин при систематическом влиянии
- •1.18. Принцип равных влияний
- •Раздел 2. Обработка результатов неравноточных измерений
- •2.1. Неравноточные измерения и их веса
- •2.2. Общая арифметическая средина и ее свойства
- •2.3. Средняя квадратическая ошибка единицы веса
- •2.4. Вычисление весов функций
- •2.5. Вычисление ошибки единицы веса
- •2.5.3. Вычисление средней квадратической ошибки измерения углов в триангуляции
- •2.5.4. Вычисление ошибки единицы веса через отклонения от арифметической средины
- •II. Способ наименьших квадратов
- •3. Коррелатный способ уравнивания
- •3.1. Условные уравнения
- •3.2. Весовая функция
- •3.3. Нормальные уравнения коррелат
- •3.4. Составление нормальных уравнений коррелат
- •3.5. Решение нормальных уравнений по алгоритму Гаусса
- •3.6. Оценка точности по материалам уравнивания
- •3.7. Блок-схема коррелатного способа уравнивания
- •3.8. Уравнивание нивелирной сети коррелатным способом
- •3.9. Уравнивание геодезического четырехугольника коррелатным способом
- •4 Параметрический способ уравнивания
- •4.1. Параметрические уравнения
- •4.2. Нормальные уравнения
- •4.3. Составление нормальных уравнений
- •4.4. Весовая функция
- •4.5. Решение нормальных уравнений способом обращения
- •4.6. Оценка точности по материалам уравнивания
- •4.7. Блок-схема параметрического способа уравнивания
- •4.8. Уравнивание нивелирной сети параметрическим способом
- •4.9. Уравнивание углов на станции параметрическим способом
1.8. Предельная ошибка результата измерения
По величине средней квадратической ошибки, определяющей условия измерения, можно установить предельную ошибку
(1.29)
Ошибки, большие предельной, считаются грубыми. Из предыдущего параграфа было установлено: P(< ) = 0,6827; P( ) = 0,9545; P(< ) = 0,9876; P( ) = 0,9973, т.е. случайная ошибка измерения может превосходить среднюю квадратическую ошибку (m) в 32 случаях из 100, удвоенную (2m) в 5 случаях из 100, утроенную (3m) в 3 случаях из 1000. Следовательно, согласно “правила трех сигм” для различных геодезических работ величину k принимают равную 3, т.е.
(1.30)
При вычислении допустимых невязок k = 2 и тогда
(1.31)
1.9. Абсолютные и относительные ошибки
Такие ошибки, как средняя (), средняя квадратическая (m), вероятная (r), истинная () и предельная (пр), являются абсолютными ошибками. Они всегда выражены в единицах измеряемой величины, т.е. имеют одинаковую с измеряемой величиной размерность. Часто возникают случаи, когда разные по величине объекты измеряют с одинаковыми абсолютными ошибками. Например, средняя квадратическая ошибка измерения линий длиной: l1 = 100 м и l2 = 1000 м, составила m = 5 см. Возникает вопрос: какая же линия измерялась точнее Чтобы избежать неопределенности, точность измерений ряда величин оценивают в виде отношения абсолютной ошибки к значению измеряемой величины. Полученное отношение называется относительной ошибкой, которую обычно выражают дробью с числителем, равным единице. Наименование абсолютной ошибки определяет и название соответствующей ей относительной ошибки измерения [ 1 ].
Пусть x результат измерения некоторой величины. Тогда cредняя квадратическая относительная ошибка;
средняя относительная ошибка;
вероятная относительная ошибка;
истинная относительная ошибка;
предельная относительная ошибка.
Знаменатель N относительной ошибки необходимо округлять до двух значащих цифр с нулями:
mx = 0,3 м; x = 152,0 м;
mx = 0,25 м; x = 643,00 м; .
mx = 0,033 м; x = 795,000 м;
Как видно из примера, чем больше знаменатель дроби, тем точнее выполнены измерения.
1.10. Ошибки округления
При обработке результатов измерений немаловажную роль играют ошибки округления, которые по своим свойствам можно отнести к случайным величинам [ 2 ]:
1) предельная ошибка одного округления составляет 0,5 единицы удерживаемого знака;
2) большие и меньшие по абсолютной величине ошибки округления равновозможны; 3) положительные и отрицательные ошибки округления равновозможны; 4) математическое ожидание ошибок округления равно нулю. Эти свойства позволяют отнести ошибки округления к случайным величинам, имеющим равномерное распределение. Непрерывная случайная величина X имеет равномерное распределение на интервале a, b, если на этом интервале плотность распределения случайной величины постоянна, а вне его равна нулю (рис. 2), т.е.
(x ) . (1.32)
Функция распределения F(x)
с
a b x (1.33) Рис. 2 Математическое ожидание
(1.34)
Дисперсия (1.35)
Среднее квадратическое отклонение
(1.36)
Для ошибок округления
(1.37)
Следовательно, средняя квадратическая ошибка округления mо вычислится согласно
(1.38)
где = 0,5.
Подставляя это значение в равенство (1.38), получим
Как видно из примера, mc незначительно отличается от ошибки измерения m.
В вычислительной практике для уменьшения влияния ошибок округления промежуточные результаты принимают на порядок выше результатов измерения. Например, если результаты линейных измерений имеют ошибку 1 мм, то промежуточные значения определяют с точностью до 0,1 мм.