- •Ростовский государственный строительный университет
- •Раздел 1. Ошибки измерений и меры точности
- •1.1. Общие сведения об измерениях
- •1.2. Виды ошибок измерений
- •1.3. Свойства случайных ошибок
- •1.4. Принцип арифметической средины
- •1.5. Меры точности результатов измерений
- •1.6. Вероятностное обоснование применения теории ошибок измерений
- •1.7. Определение вероятности отклонения случайной величины от ее математического ожидания
- •1.8. Предельная ошибка результата измерения
- •1.9. Абсолютные и относительные ошибки
- •1.10. Ошибки округления
- •1.11. Ошибки функций измеренных величин
- •1.12. Типовые примеры
- •1.12.1. Функция произведения непосредственно измеренного аргумента на постоянный коэффициент
- •1.12.2. Функция линейного вида
- •1.13. Средняя квадратическая ошибка простой арифметической средины
- •1.14. Формула Бесселя
- •1.15. Влияние систематических ошибок на точность отдельных измерений
- •1.16. Оценка точности функции при наличии систематических ошибок
- •1.17. Оценка точности равноточно измеренных величин при систематическом влиянии
- •1.18. Принцип равных влияний
- •Раздел 2. Обработка результатов неравноточных измерений
- •2.1. Неравноточные измерения и их веса
- •2.2. Общая арифметическая средина и ее свойства
- •2.3. Средняя квадратическая ошибка единицы веса
- •2.4. Вычисление весов функций
- •2.5. Вычисление ошибки единицы веса
- •2.5.3. Вычисление средней квадратической ошибки измерения углов в триангуляции
- •2.5.4. Вычисление ошибки единицы веса через отклонения от арифметической средины
- •II. Способ наименьших квадратов
- •3. Коррелатный способ уравнивания
- •3.1. Условные уравнения
- •3.2. Весовая функция
- •3.3. Нормальные уравнения коррелат
- •3.4. Составление нормальных уравнений коррелат
- •3.5. Решение нормальных уравнений по алгоритму Гаусса
- •3.6. Оценка точности по материалам уравнивания
- •3.7. Блок-схема коррелатного способа уравнивания
- •3.8. Уравнивание нивелирной сети коррелатным способом
- •3.9. Уравнивание геодезического четырехугольника коррелатным способом
- •4 Параметрический способ уравнивания
- •4.1. Параметрические уравнения
- •4.2. Нормальные уравнения
- •4.3. Составление нормальных уравнений
- •4.4. Весовая функция
- •4.5. Решение нормальных уравнений способом обращения
- •4.6. Оценка точности по материалам уравнивания
- •4.7. Блок-схема параметрического способа уравнивания
- •4.8. Уравнивание нивелирной сети параметрическим способом
- •4.9. Уравнивание углов на станции параметрическим способом
3.3. Нормальные уравнения коррелат
Систему (7) условных уравнений поправок решают под условием (5) CНК
- матрица весов результатов измерений.
Используют метод Лагранжа с неопределенными множителями, называемыми в геодезии коррелатами.
- вектор коррелат.
Решение приводит к образованию системы нормальных уравнений коррелат
(10)
- матрица коэффициентов нормальных уравнений. Коэффициенты, стоящие на главной диагонали, называются квадратичными. Они всегда положительны. Остальные коэффициенты неквадратичные.
πi = 1/pi - обратный вес результата измерения.
(11)
- нормальные уравнения коррелат.
Из решения нормальных уравнений находят коррелаты к1, к2, ..., кr, а затем поправки к результатам измерений по формуле:
(12)
После этого вычисляют уравненные значения результатов измерений
(13)
и делают контроль уравнивания подстановкой уравненных измерений в условные уравнения связи, невязок не должно быть:
(14)
Если измерения равноточные, вес измерения равен единице, pi = πi = 1, матрицы весов и обратных весов единичные Pnn = Пnn = E.
3.4. Составление нормальных уравнений коррелат
Пусть r = 2 и от системы условных уравнений поправок
требуется перейти к системе нормальных уравнений коррелат:
Подлежит оценке точности весовая функция
С этой целью коэффициенты условных уравнений и функции записывают по столбцам в таблицу (табл. 1). Под таблицей помещают вычисленные значения коэффициентов нормальных уравнений коррелат, а также величины [πaf], [πbf], [πff], необходимые для дальнейшей оценки точности функции. Столбцы pν и ν заполняют позднее.
Таблица 1
Таблица коэффициентов условных уравнений и функции
Здесь [a], [b], [f], [S] - cуммы чисел по столбцам.
[πaa] = π1a1a1 + π2a2a2 + ... + πnanan; [πab] = π1a1b1 + π2a2b2 + ... + πnanbn и т.д.
Для контроля последующих вычислений по строкам таблицы находят суммы коэффициентов
Si = ai + bi + fi , (i = 1, 2, ..., n).
[S] = [a] + [b] + [f] - контроль вычисления Si.
Контроль вычисления коэффициентов нормальных уравнений:
(15)
Направление суммирования коэффициентов слева направо и сверху вниз и направо.
3
3.5. Решение нормальных уравнений по алгоритму Гаусса
Решение нормальных уравнений выполняют в схеме Гаусса (табл. 2).
Для вычисления преобразованных коэффициентов нужно постоянный множитель (-[ab]/[aa]), стоящий в первой элиминационной строке над квадратичным коэффициентом [bb], умножать по строке на вышестоящие числа и складывать каждый раз с элементами второго нормального уравнения
Таблица 2
Схема решения нормальных уравнений коррелат (r = 2; πi = 1)
Правило развертывания символа Гаусса: "Cимвол развертывается в разность. Уменьшаемое - тот же символ, но со значком на единицу меньше. Вычитаемое - дробь. Знаменатель дроби - квадратичный коэффициент, буква которого соответствует номеру развертываемого символа. Числитель - произведение двух символов, каждый из которых получен заменой буквы уменьшаемого на букву знаменателя".
Последняя коррелата равна числу, стоящему в столбце w последней элиминационной строки. Коррелата к1 вычисляется с использованием чисел первой элиминационной строки от столбца w налево.
[vv] или [pvv] - для неравноточных измерений - получают как сумму произведений чисел элиминационных строк столбца w на вышестоящие числа того же столбца, знак "минус" отбрасывают:
(16)
Обратный вес функции 1/PF получают, как сумму [ff] и произведений чисел элиминационных строк столбца F на вышестоящие числа того же столбца:
Заключительный контроль решения нормальных уравнений осуществляется подстановкой коррелат в суммарное уравнение:
([aS] - [af])к1 + ([bS] - [bf])к2 + ... + ([rS] - [gf])кr + [w] = 0. (17)