1.6. Вероятностное обоснование применения теории ошибок измерений
Знание функции плотности распределения случайных ошибок измерений дает возможность для решения целого ряда задач, возникающих при различных геодезических работах: определение наиболее вероятного значения при многократных измерениях; установление предельных значений (допусков) для конкретного вида работ; вычисление вероятности появления случайной ошибки в определенном интервале; выявление предельных значений, за которыми ошибки можно квалифицировать как грубые. Для этого воспользуемся функцией Лапласа, имеющей следующий вид
(1.17)
Вероятность того, что любая случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (, ), можно выразить через функцию распределения
(1.18)
Перейдем к
нормированной случайной величине
t . Неравенства
< x <
и
равносильны.
Поэтому вероятности этих неравенств
равны между собой
(1.19)
Используя равенство (1.18), запишем
(1.20)
где
Считая, что
нормированная случайная величина t
имеет
нормальное распределение, и используя
определение интегральной функции
,
получим
(1.21)
Первое
слагаемое числено равно половине площади
под нормированной кривой распределения;
второе слагаемое является выражением
функции Лапласа. Итак, для нормально
распределенной случайной величины
имеем
(1.22)
Используя формулу (1.22) в выражении (1.20), получим
(1.23)
1.7. Определение вероятности отклонения случайной величины от ее математического ожидания
Определим вероятность
того, что нормально распределенная
величина X
отклоняется от своего математического
ожидания на величину меньшую чем ,
т.е. найдем вероятность осуществления
неравенства
Перейдя к нормированной случайной величине t , имеем
(1.24)
Согласно равенству (1.23)
(1.25)
Окончательно получим
(1.26)
При
равенство (1.26) примет вид
(1.27)
Выразив отклонение
случайной величины X
в долях
среднего квадратического отклонения,
т.е. положив
равенство (1.26) можно записать
(1.28)
Таким образом,
значение
при
заданномt
определяет вероятность того, что
отклонение нормально распределенной
величины по абсолютному значению меньше
При t
= 1 имеем
при t
= 2 имеем
при t
= 3 имеем
Из последнего
равенства следует, что практически
рассеивание случайной величины
укладывается на участке
Вероятность того, что случайная величинаX
попадает за этот интервал очень мала,
а именно равна 0,0027, т.е. это событие можно
считать практически невозможным. На
приведенном рассуждении основано
“правило трех сигм”, которое формулируется
следующим образом: если
случайная величина имеет нормальное
распределение, то отклонение этой
величины от ее математического ожидания
по абсолютной величине не превосходит
утроенного среднего квадратического
отклонения.