3.9. Уравнивание геодезического четырехугольника коррелатным способом
Для определения координат пунктов В и Д в геодезическом четырехугольнике (рис. 2) измерено равноточно (рi = 1) восемь углов между сторонами и диагоналями. Результаты измерений помещены в табл. 5.
Рис. 2. Геодезический четырехугольник
Таблица 5
Результаты измерений
|
№ углов |
Измеренные углы βi |
№ углов |
Измеренные углы βi |
|
1 |
77°35′ 46,3″ |
5 |
36°00′ 05,7″ |
|
2 |
57° 00′ 57,0″ |
6 |
46° 29′ 49,3″ |
|
3 |
27° 22′ 57,6″ |
7 |
37° 54′ 10,8″ |
|
4 |
59° 35′ 57,7″ |
8 |
18° 00′ 15,7″ |
Определим число независимых условных уравнений.
Число необходимых измерений в линейно-угловой сети равно удвоенному числу вновь определяемых пунктов, t = 2 · 2 = 4. Число избыточных измерений
r = n - t = 8 - 4 = 4.
В геодезическом четырехугольнике имеют место четыре независимых условных уравнения, 3 - условных уравнения фигур и 1 - полюсное.
Составим условные уравнения связи.
Условное уравнение фигур: сумма углов плоского треугольника после уравнивания минус 180° равна нулю.
Обозначим βi = i. Для трех треугольников, например, ΔАВС, ΔАДС, ΔАВД условные уравнения фигур будут иметь вид:
1. 5 + ν5 + 2 + ν2 + 3 + ν3 + 4 + ν4 - 180° = 0;
2. 8 + ν8 + 1 + ν1 + 6 + ν6 + 7 + ν7 - 180° = 0;
3. 1 + ν1 + 2 + ν2 + 3 + ν3 + 8 + ν8 - 180° = 0.
Полюсное условное уравнение: отношение сторон, сходящихся в одной точке (полюсе), после уравнивания равно единице. Если полюс - точка А, то
По теореме синусов, отношение сторон заменяют отношением синусов противолежащих углов:
Составим условные уравнения поправок.
Условные уравнения фигур имеют линейный вид. Для перехода к условным уравнениям поправок следует вычислить невязки, которые равны суммам измеренных углов в треугольнике минус 180°.
1) ν5 + ν2 + ν3 + ν4 + w1 = 0; w1 = 5 + 2 + 3 + 4 - 180°= -2,0″;
2) ν8 + ν1 + ν6 + ν7 + w2 = 0; w2 = 8 + 1 + 6 + 7 - 180°= +2,1″;
3) ν1 + ν2 + ν3 + ν8 + w3 = 0; w3 = 1 + 2 + 3 +8 - 180°= -3,4″.
Полюсное условное уравнение связи приводят к линейному виду разложением в ряд Тейлора
.
.
Частная производная функции Ф4 по аргументу β5 (углу числителя):
Частная производная функции Ф4 по аргументу β6 (углу знаменателя):
Частная производная функции Ф4 по аргументу β8 (углу числителя и знаменателя):
С учетом размерности поправок и невязки полюсное условное уравнение поправок имеет вид:
Умножив на ρ″, получим
Определение коэффициентов Δi и невязки w″4 полюсного условного уравнения выполним на ПК по программе Polus.exe. Исходной информацией к программе являются углы числителя и знаменателя полюсного условного уравнения (табл. 6).
Таблица 6
Вычисление Δi и w″4
|
... |
Числитель |
... |
... |
Знаменатель |
... |
|
№ углов |
βi |
Δi |
№ углов |
βi |
Δi |
|
5 |
36°00′ 05,7″ |
1,38 |
3+4 |
86°58′ 55,3″ |
0,05 |
|
8+7 |
55° 54′ 26, 5″ |
0,68 |
6 |
46° 29′ 49,3″ |
0,95 |
|
3 |
27° 22′ 57,6″ |
1,93 |
8 |
18° 00′ 15,7″ |
3,08 |
w″4 = +2,67″.
Полюсное условное уравнение поправок принимает вид:
4) 1,38 ν5 + 0,68 ν7 + 1,88 ν3 - 0,05 ν4 - 0,95 ν6 - 2,40 ν8 + 2,67 = 0.
Составим весовую функцию.
Пусть
- дирекционный угол стороны АВ, вычисленный по результатам уравнивания.
Итак, получена следующая система условных уравнений поправок:
(24)
Таблица 7
Коэффициенты условных уравнений и функции
|
№ измерения |
a |
b |
c |
d |
f |
ν |
|
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
... |
|
2 |
1 |
0 |
1 |
0 |
-1 |
... |
|
3 |
1 |
0 |
1 |
+1.88 |
0 |
... |
|
4 |
1 |
0 |
0 |
-0.05 |
0 |
... |
|
5 |
1 |
0 |
0 |
+1.38 |
0 |
... |
|
6 |
0 |
1 |
0 |
-0.95 |
0 |
... |
|
7 |
0 |
1 |
0 |
+0.68 |
0 |
... |
|
8 |
0 |
1 |
1 |
-2.40 |
0 |
... |
и весовая функция:
Коэффициенты условных уравнений и функции поместим в табл. 7.
Дальнейшее решение задачи выполните на ПК по программе KORREL.EXE. Таблицу коэффициентов условных уравнений вводите по столбцам.
Выпишите с экрана:
1. Значения поправок к результатам измерений в столбец ν табл. 7.
2. Среднюю квадратическую ошибку измерения - m.
3. Обратный вес 1/PF и среднюю квадратическую ошибку функции - mF.
Вычислите
уравненные значения углов 
и
сделайте контроль уравнивания.