ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Остроградский Михаил Васильевич (1801 – 1861) –

выдающийся русский математик и механик, член Петербургской Академии Наук. Кавалер высших орденов России. Окончил курс математического факультета в Харьковском университете. Во Франции, в Париже посещал лекции в Сорбонне и в College de France. Труды Михаила

Остроградского посвящены самым разнообразным отделам математики и механики. Исследования Остроградского по

механике обосновали понимание вариационных принципов с математической точки зрения. Поэтому интегрально- вариационный принцип, сформулированный Гамильтоном, справедливо называется принципом Гамильтона – Остроградского. Доказал теорему в области интегральной теории поля, известную ныне как формула Остроградского. Написал ряд учебников по высшей математике.

§10. Пример моделирования линейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка

Отметим следующую особенность вариационного принципа моделирования. Он формулируется в терминах потенциальной и кинетической энергии изучаемой системы. Это дает возможность распространить принцип Гамильтона на физические поля, для которых имеются аналоги в математическом описании. Например, малые колебания струны – материя в форме вещества и электромагнитом колебании – материя в форме поля,

описываются одним и тем же гиперболическим дифференциальным уравнением в частных производных.

Выведем уравнения малых поперечных колебаний струны. Струна располагается между точками O и L на оси x и совершает малые колебания около этого положения. Обозначим U (x,t) – профиль струны в момент времени

t , когда концы струны O и L закреплены U (O,t)= U (L,t)= 0 .

Кинетическая энергия струны, как сумма кинетических энергий её частиц, выражается интегралом: T = òLU t2 12 μdx , где μ = μ(x) – плотность струны

0

в точке x , μ × dx – масса элемента струны, отвечающая интервалу d x на оси

x .

Выражение потенциальной энергии следует из механического определения струны. Струна – однородная механическая система, поэтому

потенциальная энергия для каждого её участка пропорциональна растяжению по сравнению с положением равновесия dU = p(x)(1+ Ux2 dx − dx), где p = p(x)

– модуль упругости струны – модуль Юнга. Будем считать, что Ux – достаточно малая величина, настолько, что можно пренебречь Ux4 . В этом случае

	справедлива следующая эквивалентность: (		−1)dx ≈	1	U 2dx , откуда
		1+U 2
		x		2 x
				37

	получаем U = ò1			p(x)	U x2dx . Функционал Лагранжа L = T −U в нашем случае
				2
			0			2	ò	(μ U t2 − pU x2 )dx .
	имеет следующий				вид:	L = 1			Поэтому функционал
	Гамильтона ò Ldt				будет	двойным интегралом			следующего вида:
	2		òò
	1		1 t (μUt2 − pUx2 )dxdt .		Выпишем		уравнение Эйлера		– Остроградского
			0 0

− ∂∂t (μUt )+ ∂∂x ( pUx )=0 . Предположим что коэффициенты p и μ – постоянны, т.е.

струна однородна по плотности и упругости. Тогда сразу получаем следующее уравнение:

	μ	∂2u		= p	∂2u	.	(2.10.1)
		∂t	2		∂x2

Это уравнение малых поперечных колебаний струны – линейное гиперболическое уравнение в частных производных второго порядка.

38