11.for i = 1:1:nb

12.p1 = p(1,e(1,i)); p2 = p(1,e(2,i));

13.if (((p1==0)&&(p2==0)) || ((p1==1)&&(p2==1)))

14.h(1,i) = 1; h(1,nb+i) = 1;

15.end; end;

16.%-----------------------------------------

Ниже приведена визуализация построенного решения. Так колеблется струна в рассмотренной нами задаче.

§5. Метод характеристик решения задачи Коши гиперболического уравнения

Рассмотрим метод Даламбера решения еще одной задачи для гиперболического уравнения.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Д'Аламбер Жан Лерон (D'Alembert Jean Le Rond)

(1717 – 1783) – великий французский математик и философ. Академик. В 1743 г. в работе «Трактат о динамике»

впервые сформулировал общие правила моделирования дифференциальных уравнений движения любых материальных систем, сведя задачи динамики к статике – так называемый принцип Д'Аламбера. В 1747 г. Жан Лерон Д’Аламбер опубликовал статью по теории поперечных колебаний струны, где привел метод решения

гиперболического дифференциального уравнения в частных производных. Он представил решение как сумму двух произвольных функций, и по граничным условиям выразил одну из них через другую. Эти работы Д’Аламбера, а также

последующие работы Л. Эйлера и Д. Бернулли заложили фундамент дисциплины «уравнения математической физики». Д’Аламбер получил ряд принципиальных результатов в теории обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Д’Аламбер работал вместе с Д. Дидро над созданием «Энциклопедии наук, искусств и ремёсел». В «Энциклопедии» Д’Аламбер вёл отделы математики и физики.

Построим решение задачи Коши для следующего волнового уравнения:

utt =c2uxx ,	− ∞ < x < ∞ , 0 < t < ∞ ,	(5.5.1)
ìu(x,0)= f (x),	− ∞ < x < ∞ .
í
îut (x,0)= g(x),

91

Эта задача описывает движение бесконечной струны с заданными начальными условиями. Она была решена в 1750 г. французским математиком Даламбером.

Формула Даламбера

		1	[f (x − ct) + f (x + ct)]+	1	x+ct
	u(x,t) =				ò g(ξ )dξ
		2
				2c x−ct

позволяет легко найти решение, если известны начальные условия. Кроме того,

она позволяет дать интересную физическую интерпретацию решения на языке бегущих волн.

Задачу (5.5.1) можно решать с помощью интегрального преобразования Фурье по переменной x по аналогии с §5 предыдущей главы. Мы воспользуемся другим методом – методом канонических координат. Решение задачи (5.5.1) разобьём на несколько этапов.

I этап. Заменим старые координаты (x,t) новыми каноническими координатами (ξ,η) . Если заменить две независимые переменные x и t новыми

пространственно-временными координатами ξ = x + ct , η = x − ct ,

то уравнение

u

tt

=c2u

xx

преобразуется в уравнение u

=0 .

ξη

В этом легко убедиться, если воспользоваться формулами

преобразования координат:

u

x

= u

+ u ; u

=c(u

−u ) ; u

xx

= u

+ 2u

ξη

+ u

; u

= c2 (u

− 2u

+ u

).

(5.5.2)

ξ

η

t

ξ

η

ξξ

ηη

tt

ξξ

ξη

ηη

Подставляя эти выражения для производных в волновое уравнение, получим вторую каноническую форму записи гиперболического уравнения:

u ξ η = 0.

II этап. Преобразованное уравнение легко решить двумя последо- вательными интегрированиями (сначала по переменной ξ , а затем по η ). После интегрирования по ξ получаем uη (ξ,η)=ϕ1(η) – произвольная функция от

η . Интегрирование последнего соотношения по η приводит к общему решению

u(ξ ,η) = ϕ(η) +ψ (ξ ) , где ϕ(η) – первообразная функция	ϕ1(η) , а ψ (ξ ) –
произвольная функция. Итак, общее решение уравнения uξη	= 0 записывается в
виде
u(ξ,η) = ϕ(η) +ψ (ξ ) ,	(5.5.3)

где ϕ(η) и ψ (ξ ) – произвольные функции своих аргументов. Например,

несложно	проверить,	что функции u(ξ,η) = sinη + ξ 2 ,		u(ξ,η) = 1/η +tgξ ,
u(ξ ,η) =η2	+ e являются решениями уравнения u		= 0 .
		ηξ
III этап. Возвращаемся к исходным координатам x и t . Для нахождения
общего решения, т.е.		всех решений уравнения utt	= c2uxx ,	подставим ξ = x + ct ,
η = x −ct в решение u(ξ,η) = ϕ(η) +ψ (ξ ). В результате получаем
		u(x,t) = ϕ(x − ct) +ψ (x + ct) .		(5.5.4)
92

Это общее решение волнового уравнения. С физической точки зрения оно представляет собой сумму двух бегущих волн произвольной формы, движущихся в противоположных направлениях со скоростью c . Например, следующие функции:

I. u(x,t) = sin(x − ct) – волна, движущаяся слева направо;

II.	u(x,t) = (x + ct)2	– волна, движущаяся справа налево;
III.	u(x,t) = sin(x − ct) + (x + ct)2 – две		волны в	противоположных
направлениях – являются типичными решениями волнового уравнения.
На	следующем	рисунке изображена	простейшая	бегущая волна

u(x,t) = e−(x−ct)2 , которая движется слева направо.

u

Скорость = c

t=0

t=1/c

t=2/c

0	1	2	x

IV этап. Учтем начальные условия. Для решения задачи Коши волнового уравнения подставим общее решение u(x,t) = ϕ(x − ct) +ψ (x + ct) , (содержащее

две произвольные функции) в начальные условия u(x,0) = f (x) ,

чтобы найти конкретные выражения для произвольных функций подстановки получаем

ϕ(x) +ψ (x) = f (x),

−cϕ′(x) + cψ ′(x) = g(x).

ut (x,0) = g(x) ,

ϕ и ψ . После

(5.5.5)

Если теперь проинтегрировать второе уравнение (5.5.5), то получится

алгебраическая система двух уравнений относительно неизвестных функций

ϕ(x) и ψ (x) . В самом деле, после интегрирования в пределах от	x0 до x
получаем
x
− cϕ ( x) + cψ ( x) = òg (ξ )dξ + K .	(5.5.6)
x0

Решаем теперь уравнение (5.5.6) совместно с первым уравнением (5.5.5) и получаем следующие выражения для функций ϕ(x) и ψ (x) :

93

	1			1	x
(x) =	2	f (x) +			ò g(ξ )dξ + K /2c,
				2c x
					0
	1			1	x
ϕ(x) =		f (x) -			ò g(ξ )dξ - K / 2c.
	2			2c x
					0

Следовательно, общее решение задачи(5.5.1) даётся формулой

		1	[f (x − ct) + f (x + ct)]+	1	x+ct
	u(x,t) =				ò g(ξ )dξ .
		2
				2c x−ct

(5.5.7)

(5.5.8)

Решение вида (5.5.8) принято называть формулой Даламбера. Самостоятельно убедиться в том, что пределы интегрирования меняются от x − ct до x + ct . Задача Коши (5.5.1) для волнового уравнения решена.

94