ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Соболев Сергей Львович (1908 – 1989) – выдающийся советский математик. Академик АН СССР. По окончании Ленинградского университета в 1929 г. работал в Сейсмологическом институте АН СССР. В 1932 – 1943 гг. – в Математическом институте им. В. А. Стеклова АН СССР. В 1943 – 1957 гг. работал в институте атомной энергии. С 1957 г. С. Л. Соболев – директор института математики

Сибирского отделения АН СССР и профессор Новосибирского университета. Основные труды С. Л. Соболева принадлежат теории уравнений с частными производными, математической физике,

функциональному анализу и вычислительной математике. С. Л. Соболевым впервые начато систе-

матическое применение функционального анализа в теории уравнений с частными производными. Им введён класс функциональных пространств – пространств Соболева. Исследованы соотношения

вложения для этих пространств. Введены понятия обобщённых решений уравнений с частными производными, обобщенных производных, дано первое строгое определение обобщённых функций. С помощью этих понятий С. Л. Соболев изучил большой класс краевых задач для уравнений с частными производными. В области вычислительной математики С. Л. Соболевым введено понятие замыкания вычислительных алгоритмов, дана точная оценка норм погрешности кубатурных формул.

§7. Задача оптимального управления параболической системой

Приведем результат для поиска решения в задаче оптимального управления дифференциальным уравнением параболического типа. Задачи

такого типа часто встречаются в практических приложениях управления процессами переноса и тепломассообмена.

Пусть E n – евклидово пространство				векторов x = (x , K, x	n	), а G –
				1
ограниченная область в E n	с границей Γ ,			X i (x) – направляющие косинусы
внешней нормали границы Γ . Пусть в области G задан эллиптический
оператор L = (L1, K, Lm ), определяемый формулой
m	n	2
		∂ y p
Li y = å å aipjk			,			(4.7.1)
p=1 j,k =1		∂x j∂xk

где функции aipjk (x1, K, xn ) в области G + Γ принадлежат классу C(2). Обозначим через M = (M1, K, M m ) оператор, определяемый формулой

m n

¶

æ

¶z

ö

n

¶

n

¶api

Mi z = å å

çajkpi

p

÷

+ å

(ljpi zp ), i =1,K,m , где ljpi = -å

jk

.

¶x

¶x

¶x

p=i j, k =1

ç

÷

j=1

j

k =1

¶x

j è

k ø

k

70

Непосредственной проверкой можно убедиться в справедливости следующего равенства:

m
åò(zi Li y - yi M i z)dx =
i=1 G
m n é n	æ	¶yp		¶z	i	ö	ip	ù	X j (x)dσ .
	ip ç					÷
= å åòêåa jk ç zi			- y p			÷	+ l j	y p zi ú
		¶xk		¶xk
i, p=1 j=1 Γ ëk =1	è					ø		û
Эту формулу можно преобразовать к виду
m				m
åò(zi Li y - yi M i z)dx = åò(zi Pi y - yiQi z)dσ ,										(4.7.2)
i=1 G				i=1 Γ

где

	m	é	dy p		ù
	Pi y = å	êalip			+ bip y p ú	,
		ê	dl	ip	ú
	p=1 ë				û

	m	é	dz p		ù
	Qi z = å	êaλpi			+ dip z p ú .	(4.7.3)
			dλ
		ê		ip	ú
	p=1 ë				û

В формулах (4.7.3)		направления	lip	выбираются	произвольно,		при
условии что	cos(n, lip )> 0	( n – внешняя нормаль к Γ ) и их направляющие
косинусы принадлежали		классу C(1) на границе Γ .			Направления		λ i p
выбираются в зависимости от lip .
Будем	считать, что	коэффициенты	в	операторе L	зависят	ещё	и от
переменной	t , 0 ≤ t ≤ T ,	т.е. будем рассматривать управляемые				системы,

поведение которых описывается системой уравнений параболического типа:

L y = f (t, x, y, y		, u), o ≤ t ≤ T, x G	æ		¶y	ö	(4.7.4)
			ç L y =		i - L y÷,
i	x		è	il	¶t	i ø
где функция	f = ( f1, K, fm ) непрерывна		по	t	и	дважды	непрерывно

дифференцируема по остальным аргументам, а параметр u принимает значения из некоторой выпуклой (открытой или замкнутой) области U p -мерного

эвклидова пространства.

Далее предположим, что функция y (t, x) = (y1, K, ym ), определяемая системой уравнений (4.7.4), удовлетворяет ещё условиям

Pi (t, x)y = ϕi (t, x, y, v),	x Î G, 0 £ t £ T ,ü	(4.7.5)
y(0, x) = a(x), x ÎG,	ý
	þ

где операторы Pi определены формулами (4.7.3), в которых функции alis (t, x), bip (t, x) и a(x) непрерывны, ϕi удовлетворяет тем же условиям, что и fi , а

параметр v принимает значения из выпуклой (открытой или замкнутой) области V q -мерного эвклидова пространства.

Функцию ω(t, x) = (u (t, x), v (t, x)) будем называть допустимым управлением, если все её компоненты кусочно-непрерывны, а u (t, x) и v (t, x) принимают значения соответственно из областей U и V . Кроме того, будем

71

предполагать, что поверхности разрыва допустимых управлений являются гладкими и каждая из них либо ортогональна оси t , либо в окрестности любой

её точки можно	ввести	невырожденное преобразование	координат
τ = t, ξi = ξi (t, x),	i = 1, K, n ,	такое, что поверхность разрыва	переходит в

кусок плоскости ξn = 0 .

Если разрывы некоторого допустимого управления удовлетворяют первому условию, то краевая задача (4.7.4) – (4.7.5), соответствующая этому управлению, распадается на несколько таких же задач в областях, примыкающих друг к другу по поверхностям разрыва управления. В этом случае задача (4.7.4) – (4.7.5) имеет единственное непрерывное решение. Это

решение не подчинено никаким дополнительным условиям гладкости на поверхностях разрыва управления.

Если же эти поверхности удовлетворяют второму условию, то под решением задачи (4.7.4) – (4.7.5) понимается вектор-функция y (t, x),

удовлетворяющая системе уравнений (4.7.4), условиям (4.7.5) и некоторым условиям гладкости на поверхностях разрыва управления. Всюду в дальнейшем будем предполагать, что заданные функции в уравнениях (4.7.4) и условиях (4.7.5), кроме перечисленных выше свойств, удовлетворяют ещё условиям, при

которых каждому допустимому управлению соответствует единственное решение задачи (4.7.4) – (4.7.5).

Пусть ω (t, x) – некоторое допустимое управление, а y (t, x) –

соответствующее ему решение задачи (4.7.4) – (4.7.5), и пусть задан

функционал

S= åm éêòαi (x)yi (T, x)dx +

i=1 ëG

	T	βi (t, x)yi (t, x)dx dt +	T	ù
+	òò		òò	ú	,	(4.7.6)
				γ i (t, x)yi (t, x)dσ dtú
	0 G		0 Γ	û

где αi , βi и γ i – заданные непрерывные функции.

Ставится задача: среди всех допустимых управлений найти управление ω (t, x) (если оно существует) такое, чтобы соответствующее ему решение

задачи (4.7.4.7) – (4.7.5) реализовало бы минимум функционала S .

Допустимое управление ω (t, x), на котором функционал S достигает

своего максимального (минимального) значения, будем называть max- оптимальным (min-оптимальным) по S . Функционалы более общего вида будут рассмотрены в конце параграфа.

Здесь мы рассматриваем задачу, когда управление процессом может осуществляться одновременно с помощью управлений, входящих и в уравнения, и в граничные условия. Отдельно отметим, что к виду (4.7.6) можно

привести функционал

72

	m	T	é	n	¶yi	ù
	S1 = å		êγ i (t, x)yi (t, x)+ åαik (t, x)			+ βi (t, x)¶yi ú dx dt ,
					¶xk
	i=1	ò0 Gò	ë	k =1		¶t û

где αik и βi – непрерывно дифференцируемые функции.

Чтобы сформулировать условия оптимальности, введём вспомогательную функцию z (t, x) с помощью сопряжённой с (4.7.4) – (4.7.5) краевой задачи

m

Mit z = -åêé¶fs (t, x, y, yx , u)zs -

s=1 ë

¶yi

n

d

æ ¶f

(t, x, y, y

, u)

öù

- å

ç

s

x

zs

÷ú + βi (t, x), x

ÎG

,

(4.7.7)

dx

¶y

k=1

ç

ix

÷

ú

k

è

k

øû

m

é

¶ϕs (t, x, y, v)

+

Qi (t, x)z = å

ê

¶yi

s=1

ë

n

¶fs (t, x, y, yx

, v) X k (x)úù zs

- γ i (t, x),

+ å

x Î G ,

(4.7.8)

k =1

¶yix

k

ú

û

zi (T, x) = −αi (x),

x G,

i = 1, K, m ,

где M

it

z =

∂zi

+ M

i

z ,

операторы

Q определены соотношениями

(4.7.3),

¶t

i

функции αi ,

βi и

γ i

входят

в определение

функционала

S , а

X k (x) –

направляющие косинусы внешней к G нормали границы Γ .

Для того чтобы

краевая задача (4.7.7) – (4.7.8) была разрешима, необходимо, чтобы функции αi и γ i были связаны условиями согласования. В дальнейшем предполагается, что эти условия выполнены.

Введём обозначения:
æ					ö
ç	, K, zm , y1, K, ym ,	¶y1	, K,	¶ym		÷	, p = (z1, K, zm , y1, K, ym ),
w = ç z1		¶x		¶x	÷
è		1			n ø

	m			(t, x, y, yx , u)		m
H (i, x, w, u) = åzi fi						, h (t, x, p, v) = åziϕi (t, x, y, v).
	i=1					i=1
Тогда краевые задачи (4.7.4) – (4.7.5) и (4.7.7) – (4.7.8) можно записать в
следующем виде:
L y =	¶H (t, x, w, u)		,	y	(0, x) = a	(x), x Î G ,
it	¶zi			i	i
P y = ¶h (t, x, p, v)		,		x Î G ,		(4.7.9)
i	¶zi

73

¶H (t, x, w, u)

n d

æ ¶H (t, x, w,u)ö

ü

M it z = -

+ å

ç

÷

ï

¶yi

ç

¶yixk

÷ + βi (t, x),

k =1 dxk

è

ø

ï

zi (T, x) = -αi (x),

ï

(4.7.10)

ý

Qi z = ¶h(t, x, p, v)

n

ï

+ å ¶H (t, x, w, u) X k (x)-γ i (t, x),

x Î G.ï

¶y

i

k =1

¶y

ixk

ï

þ

Используя формулу (4.7.2), легко установить, что для любых дважды

кусочно-непрерывных дифференцируемых функций

yi (x, t) и

zi (t, x)

справедлива формула Остроградского – Грина:

ù

m T

m

éT

T

åòò(zi Lit y + yi Mit z)dx dt = - åêòò(zi Pi

y - yiQi z)dσ dt - ò yi zi

dxú .

(4.7.11)

i=1 0 G

i=1

ë0 Γ

G

t =0

û

Пусть ω (t, x) = (u (t, x), v (t, x))

–

некоторое допустимое управление,

а

y (t, x) и z (t, x) – соответствующие

ему решения краевых

задач

(4.7.9)

и

(4.7.10). Будем говорить, что допустимое управление ω (t, x) удовлетворяет условиям максимума, если

H (t, x, w(t, x), u (t, x))	(=) sup H (t, x, w(t, x), u),	x G ,	0 ≤ t ≤ T ,
	u U
h (t, x, p (t, x), v (t, x))	(=) sup h(t, x, p (t, x), v),	x Γ,	0 ≤ t ≤ T ,
	v V

где символ (=) означает равенство, справедливое всюду, кроме множества точек нулевой меры. Условие минимума определяется аналогично. Сформулируем следующую теорему.

Принцип максимума (А. И. Егорова). Для того чтобы допустимое управление ω (t, x)= (u (t, x), v(t, x)) было min-оптимальным (max-

оптимальным), необходимо, чтобы оно удовлетворяло условиям максимума (минимума).

Эта теорема формально не даёт достаточных условий оптимальности,

однако служит мощным практическим инструментом для отыскания оптимальных управлений и соответствующих им решений краевой задачи (4.7.4) – (4.7.5). Можно показать, что для многих технических приложений, моделируемых рассмотренной задачей управления, принцип максимума доставляет и достаточные условия оптимальности.

Таким образом, соответствующая вариационная задача на траекториях

параболической системы сводится к решению параболических дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими граничными условиями.

74

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Егоров Александр Иванович. Известный российский математик. Доказал принцип максимума Понтрягина теории

оптимального управления для краевых задач на состояниях линейных эллиптических, параболических и гиперболических уравнений в частных производных второго порядка. Получил

фундаментальные результаты в прикладных задачах управления для распределенных дифференциальных и интегродифференциальных систем. Написал ряд монографий

по проблемам теории управления и качественной теории дифференциальных уравнений – «Теорема Коши и особые решения дифференциальных уравнений», «Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями» и др. Научная школа профессора А. И. Егорова получила призна- ние в мире.

75