Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПРЯДКА. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ.

Дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка называется уравнение следующего вида:

F (x1,K, xn

, u,

∂u

,K,

∂u

) = 0 .

¶x

¶x

n

Здесь x1,K, xn

1

u(x1,K, xn )–

– независимые переменные,

искомая

функция, F – заданная функция.

Линейным ДУ в ЧП первого порядка называется уравнение вида

A1(x1

,K, xn )

∂u

+K+ An (x1,K, xn )

∂u

= B(x1,K, xn )u + f (x1,K, xn ) ,

¶x

¶x

1

n

),B,и, f

–

некоторые заданные функции, u

– искомое

решение;

где Ai (i=1,n

)

– не зависят от u , это коэффициенты уравнения.

функции B,Ai (i =1,n

Обобщением линейного уравнения является квазилинейное уравнение

A1(x1

,K, xn ,u)

∂u

+K+ An (x1,K, xn ,u)

∂u

= R(x1,K, xn ) .

¶x

¶x

n

1

∂u

Оно

линейно

относительно

.

В

квазилинейном уравнении

¶x

i

коэффициенты зависят от u , но не зависят от производных.

§1. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение в частных

	производных:	∂u		∂u
	A1(x1,K, xn )		+K+ An (x1,K, xn )			= B(x1,K, xn )u + f (x1,K, xn ) .
		¶x		¶x	n
	(3.1.1)	1
						в области D переменных x1,K, xn .
	Считают, что		уравнение задано

Функции Ai (i =1,n), B, и f непрерывно дифференцируемы в этой области, не

n

все равные нулю одновременно ( å Ai2 ¹ 0, (x1,K, xn ) D ).

i=1

Уравнению (3.1.1) сопоставим следующую систему ОДУ:

	dx	1			=	dx2			=K=	dxn				.
	A (x ,K,x		n	)		A (x ,K,x	n	)		A (x ,K,x		n	)
1 1						2 1				n 1
(3.1.2)
Уравнения		(3.1.2)				определяют кривые					для координат x1,K,xn . Кривые
													39

проходят через любую точку области	D , нигде не пересекаясь. Эти кривые
называются характеристиками уравнения (3.1.1).
Характеристики примечательны	тем, что выражение в левой части
уравнения (3.1.1) представляет собой производную		∂u функции u по
		∂l

направлению l вдоль характеристики. Это позволяет, перейдя к новой переменной, представить (3.1.1) как ОДУ, описывающее поведение u вдоль характеристики.

Обоснуем данный подход. Первым интегралом системы (3.1.2) является функция ψ (x1,K, xn ) , сохраняющая постоянное значение на решении системы

(3.1.2). Существует ровно (n −1) независимых первых интегралов (3.1.2):

ψ1 (x1,K,xn )=c1,				ü
ψ 2 (x1,K,xn )=c2			,	ï
				ï	(3.1.3)
LLL				ý
				ï
ψ	n−1	(x ,K,x )=c	.ï
		1 n	n−1	þ

Здесь x1,K, xn

– решения (3.1.2),

c1,K,cn−1

– произвольные постоянные.

Отметим, что часто сами соотношения

ψ i (x1,K, xn )=ci

называются

первыми интегралами (3.1.2). Функции ψi (x1,K, xn )

часто удается определить из

(3.1.2).

Будем рассматривать параметрическое задание характеристики как

решения системы

dx1

dx2

dxn

=

=K=

= dτ ,

(3.1.4)

A1(x1,K, xn )

A2 (x1,K, xn )

An (x1,K, xn )

полагая,

что

изменение переменной τ

помещают

точку

с координатами

(x1,K, xn )

по

характеристике.

Решение

системы

(3.1.4)

(характеристика,

определяемая параметрами c1,K,cn−1 ) имеет следующий вид:

x1 = x1 (τ ,c1 ,K ,c n−1 ),

x2 = x2 (τ ,c1 ,K ,cn −1 ),

L L L

xn = xn (τ ,c1 ,K ,cn −1 ).

(3.1.5)

Введем следующие функции переменной τ и параметров c1,K,cn−1 :

40

ν (τ ,c1,K,cn−1)=u(x1,K,xn )

ü

x =x (τ ,c ,K,c

),

ï

i

i

1

n−1

ï

ï

ï

β (τ ,c1,K,cn−1)=B(x1,K,xn )

ï

(3.1.6)

i=1,n.

x =x (τ,c ,K,c

),

ý

i

i

1

n−1

ï

ï

ï

F(τ,c1,K,cn−1)= f (x1,K,xn )

ï

x =x (τ ,c ,K,c

),ï

i

i

1

n−1

þ

Дифференцируя первое из соотношений (3.1.6) и учитывая (3.1.4), получаем

dν du

¶u ¶x1

¶u ¶xn

¶u

× A1 +K+

¶u

× An .

=

x =x (τ ,c ,K,c

)=

× ¶τ

+K+

×

¶τ

=

dτ

dτ

n−1

¶x

¶x

n

¶x

¶x

i i

1

1

1

n

Видно, что исходное уравнение (3.1.1) с учетом полученного теперь

соотношения может быть записано в виде

∂ν

=β (τ ,c ,K,c

n−1

)ν + F(τ ,c ,K,c

n−1

) .

(3.1.7)

¶τ

1

1

Уравнение (3.1.7) описывает изменение ν

как функции от τ при любом

фиксированном наборе параметров c1,K,cn−1 , т.е. на любой характеристике.

Уравнение (3.1.7) – линейное неоднородное ОДУ первого порядка. Как известно, существует формульное представление решения данного уравнения методом Лагранжа (методом вариации произвольной постоянной). Оно имеет следующий вид:

ν = e

ò β dτ

[θ +

−òβ dτ

dτ ].

(3.1.8)

ò F e

Функции β , F зависят от

c1,K,cn−1 , как от параметров, постоянная θ –

произвольная функция тех же параметров: θ =θ (c1,K,cn−1) .

что ν =u(x1,K, xn ),

Возвращаемся к исходным переменным, учитывая,

ci =ψ i (x1,K, xn ) , i =

, и выражая τ

через x1,K, xn с помощью (3.1.4).

1,n -1

Таким образом, решение уравнения (3.1.1) определено с точностью до θ :

θ =θ (ψ1 (x1,K, xn ),K,ψ n−1(x1,K, xn )),

где θ (.) – произвольная функция от

n −1 первых интегралов системы для

характеристик (3.1.2).

Если рассмотреть частный случай, когда B = 0, f = 0, то для уравнения

A1(x1,K, xn )

∂u

+K+ An (x1,K, xn )

∂u

= 0

(3.1.9)

¶x

¶x

1

n

получаем соотношение

du

=

du

=0 .

dτ

C ,K,C

dv

1

n−1

41

Это соотношение выражает закон постоянства решения вдоль характеристики. Отсюда сразу получаем общее решение уравнения:

u(x1,..., xn ) =θ (ψ1 (x1,..., xn ),K,ψ n−1(x1,..., xn )) .

Здесь θ (.) – некоторая произвольная функция своих аргументов. Значение u зависит лишь от того, на какой характеристике лежит точка x = (x1,K, xn ) .

Решение уравнения (3.1.9) так же, как и решение исходного уравнения (3.1.1), определено с точностью до произвольной функции n−1 первых интегралов системы (3.1.3).

Пример. Решим следующее линейное уравнение в частных производных

первого

порядка ex

∂u

+ y2

∂u

= y × ex .

Составляем уравнение

характеристик:

¶x

¶y

dx

dy

=

. Решаем уравнение и находим первый интеграл:

e−x

-

1

= c . Вводим

ex

y

y2

dy

параметр τ

вдоль характеристики согласно (3.1.4), получаем: dτ =

.

Вновь

y2

τ0 ):

интегрируя

данное

уравнение,

получаем

(обозначая

константу

через

y =

1

. Из выражения для первого интеграла находим: e−x = c +

1

= c +τ0

-τ ,

y

τ0 -τ

y

=

1

×

1

.

Получаем уравнение

(3.1.7)

в

следующем

виде:

e−x

τ0 -τ

τ0 -τ + c

∂v

=

1

×

1

= (

1

-

1

) ×

1

. Интегрируя, находим:

¶τ

τ0 -τ

τ0 -τ + c

τ0

-τ + c

c

τ0 -τ

v =

ò

(

1

−

1

)

1

dτ = (− ln (τ

0 −τ ) + ln (τ 0 −τ + c))

1

+ F (c) =

1

ln

τ 0 −τ + c + F (c) .

τ 0 −τ

τ 0 −τ + c

c

c

c

τ 0 −τ

Здесь F ( . )

– некоторая произвольная функция. Возвращаясь к

исходным

переменным x и y , получаем общее решение нашего уравнения:

u(x, y) =

1

×ln(

e− x

) + F(e−x

-

1

) =

ln y - x

+ F(e−x -

1

) .

e−x -

1

1

y

e−x -

1

y

y

y

y

Приведем скрипт в среде MatLab для решения линейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка.

% Рассматриваем уравнение для функции от двух переменных u=u(x,y) вида

A1 ∂∂ux + A2 ∂∂uy = f , где A1 = A1(x,y), A2 = A2(x,y), f = f(x,y).

1.function LinSolve(A1,A2,f);

2.syms u x y t c n dn;

3.% уравнения характеристик

4.int1 = int(A1^(-1),'x');

42