27.y=zeros(size(s));

28.[m,n]=size(bs);

29.if m==1 && n==1,

30.bs=bs*ones(size(s)); end;

31.if ~isempty(s),

32.ii=find(bs==1); % граничный участок 1

33.if length(ii)

34.x(ii)=interp1([d(1,1),d(2,1)],[0 1],s(ii));

35.y(ii)=interp1([d(1,1),d(2,1)],[1 0],s(ii)); end;

36.ii=find(bs==2); % граничный участок 2

37.if length(ii)

38.x(ii)=interp1([d(1,2),d(2,2)],[1 0],s(ii));

39.y(ii)=interp1([d(1,2),d(2,2)],[0 0],s(ii)); end;

40.ii=find(bs==3); % граничный участок 3

41.if length(ii)

42.x(ii)=interp1([d(1,3),d(2,3)],[0 0],s(ii));

43.y(ii)=interp1([d(1,3),d(2,3)],[0 1],s(ii));

44.end; end;

Ниже приведена визуализация полученного решения:

§5. Анализ решения задачи Дирихле. Интегральная формула Пуассона

Если граничное условие g(ϕ) уже представимо конечным числом

слагаемых своего разложения в тригонометрический ряд Фурье, то решение задачи Дирихле выписывается почти автоматически. Пусть дана задача:

u = 0,

u (1,ϕ ) =1+ sin ϕ + 12 sin 3ϕ + cos 4ϕ .

Тогда решение данной задачи будет иметь следующий вид:

	u(ρ,ϕ) =1+ ρ ×sinϕ +	1	ρ3 ×sin 3ϕ + ρ 4	×cos4ϕ , поскольку в данном случае
		2
	104

граничные условия g (ϕ )

уже разложены в тригонометрический ряд Фурье со

следующими коэффициентами:

a0 =1,

a1

= 0,

a2

= 0, a3

= 0,

a4

=1,

2π

a5 = 0,

1

1

g(ϕ)dϕ

b1 =1, b2 =0,

b3 =

, b4 =0, ... .

Отметим,

что

коэффициент a0

=

ò0

2

2π

является средним значением функции g (ϕ ) .

Выпишем решение задачи Дирихле, заданной на круге произвольным

радиусом R :

ρ ön

∞

æ

u(ρ,ϕ) = å

ç

÷ (an cos(nϕ) + bn sin(nϕ)) .

n=0

è

R ø

Подставим формулы (6.4.15) для подсчета коэффициентов an и bn.

Получаем следующее представление:

1

2π

1

∞ æ ρ

ön 2π

u(ρ,ϕ) =

ò g(ϕ)dϕ +

åç

÷

× òg(ϕ)(cos(nα) ×cos(nϕ) + sin(nα) ×sin(nϕ))dα =

2π

0

π n=1è R

ø

0

1 2π

ì

∞

æ ρ

ön

ü

=

í1 + 2 å

ç

÷

(cos (ϕ - α ) )ýg(α )dα .

2π ò0 î

n=1

è R

ø

þ

Преобразуем выражение, стоящее в фигурных скобках:

]=

∞ æ

ρ ön

∞ æ

ρ ön

in(ϕ−α)

+ e

−in(ϕ−α)

1+ 2åç

÷ cosn(ϕ -α) =1+ åç

÷

[e

n=1è

R ø

n=1è

R ø

∞ éæ =1+ åêç n=1ëè

=

ρ

n

ρ

n

ρ

ei(ϕ −α )

ρ

e−i (ϕ−α )

e

÷ + ç

e

÷

ú =1+

R

+ R

=

i(ϕ −α ) ö

æ

−i(ϕ −α ) ö

ù

R

ø

è

R

ø û

ρ

i(ϕ −α )

ρ

−i(ϕ −α )

1

-

e

1-

e

ρ ö2

R

R

æ

1 - ç

÷

R 2 - ρ 2

è

R ø

=

.

1 - 2

ρ

cos( ϕ - α )

æ

ρ ö2

R 2 - 2 ρ R cos( ϕ - α ) + ρ 2

+ ç

÷

R

è

R ø

Окончательно получаем

2р

é

2

R

- ρ

ù

u(ρ , ϕ ) = 1 ò g(α ) ê

2

2

2 ú dα .

0

ë

2π

R

- 2 ρ R cos(ϕ - α ) + ρ

û

Данное выражение называется интегральной формулой Пуассона.

Получено еще одно представление решения внутренней задачи Дирихле.

Замечание: Отметим,

что

выражение

R 2 − ρ 2

часто

R 2 − 2 ρ R cos (ϕ − α )+ ρ 2

называют ядром Пуассона.

105

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Пуассон Симеон Дени (1781 – 1840) – выдающийся французский математик, физик, механик. Член Парижской Академии наук. С 1816 г. – профессор в Сорбонне. В двухтомном курсе механики Пуассон развил идеи Ж. Лагранжа и П. Лапласа. Пуассон

основательно разработал многие разделы математической физики, дал решения многих задач электростатики и магнитостатики. Предложил общие

методы интегрирования дифференциальных уравнений теории упругости. Существенное значение имеют работы Пуассона, посвященные уравнениям в конечных разностях, дифференциальным уравнениям с частными производными, вариационному исчислению, ортогональным рядам.

§6. Задача оптимального управления эллиптической системой

Приведем результат поиска оптимального управления в задаче управления дифференциальным уравнением эллиптического типа. Задачи

такого типа часто встречаются в практических приложениях управления установившимися процессами.

Пусть дано дифференциальное уравнение

	∂2 z	+	∂2 z	+	∂2 z	= F(x, z, u) ,	(6.6.1)
	∂x2		∂x2		∂x2
1			2		3
где нелинейная функция					F непрерывна по		x = (x1, x2 , x3 ) в области D

трёхмерного евклидова пространства и дважды непрерывно дифференцируема по совокупности переменных z и u , где u – некоторый r -мерный параметр, принимающий всевозможные значения из некоторой ограниченной области U

(открытой или замкнутой) r -мерного евклидова пространства.
Пусть S достаточно гладкая граница области D . Потребуем,			чтобы
искомая функция z(x, y) удовлетворяла условию
	dz	+ hz = f (x) при x S ,	(6.6.2)
	dn

где n – направление внешней нормали, h – положительная постоянная, а f (x)

– ограниченная кусочно-непрерывная на S функция.

Функцию u = u(x) , определённую в области D , будем называть

допустимой, если её значения расположены в U и она может иметь лишь конечное число поверхностей, линий и точек разрыва. Потребуем, чтобы в

окрестности любой точки поверхности разрыва можно было ввести невырожденное преобразование координат ξi = ξi (x), i = 1, 2, 3 , такое, что эта

поверхность переходит в кусок плоскости ξ3 = 0 . Вставляя такую допустимую

106

	функцию в уравнение (6.6.1), получим			∂2 z		∂2 z		∂2 z
	z = F(x, z, u(x)),		≡		+		+		.	(6.6.3)
				∂x2		∂x2		∂x2
				1		2		3
	Это уравнение уже не содержит параметра. Согласно условиям,
	наложенным на F и u(x) ,	его правая часть является кусочно-непрерывной
	функцией. Поверхности	i , i=1,K,k ,	разрыва управления u(x)							разбивают
	область D на конечное число подобластей,				в каждой из которых правая часть

уравнения (3) непрерывна. Под решением краевой задачи (6.6.3), (6.6.2) будем понимать функцию z = z(x) , которая удовлетворяет уравнению (6.6.3), условию

(6.6.2) и некоторым дополнительным условиям гладкости на i . Будем

предполагать, что заданные функции в уравнениях (6.6.1) и условиях (6.6.2), кроме перечисленных выше свойств, удовлетворяют ещё условиям, при которых каждой допустимой функции u = u(x) соответствует единственное

решение рассматриваемой краевой задачи (6.6.3), (6.6.2). Это решение будем называть решением, соответствующим допустимой функции u = u(x) .

Пусть задан функционал

I = òòα (x)z(x)dS + òòòβ (x)z(x)dx ,

S D

где α (x) и β (x) – интегрируемые со своим квадратом функции, определённые

соответственно в областях S и D .

Ставится задача: среди всех допустимых функций найти такую, что соответствующее ей решение уравнения (6.6.1), удовлетворяющее условию (6.6.2), реализует минимум (максимум) функционала I .

Функцию u(x) , для которой функционал I достигает своего минимума

(максимума), будем называть минимизирующей (максимизирующей) функцией.

Пусть u(x) – некоторая допустимая функция, а z(x) – соответствующее

ей решение уравнения (6.6.3) с граничным условием (6.6.2). Введём функцию ω (x), определив её как решение сопряженного уравнения

ω = ∂F(x, z(x), u(x))ω − β (x)

∂z

с граничным условием

ddnω + hω = α(x) при x S ,

где α (x) и β (x) – функции, входящие в определение функционала I .

(6.6.4)

(6.6.5)

Данными соотношениями функция ω (x) определяется однозначно и

оказывается интегрируемой с квадратом по области D . Таким образом, каждая допустимая функция u(x) однозначно определяет пару функций z(x) и ω(x).

Введём обозначение (гамильтониан системы)

H (ω(x), z(x), u, x) = ω(x)F(x, z(x), u) .

107