Глава 1. Системы линейных обыкновенных дифференциaльных уравнений. Формула Коши

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. ФОРМУЛА КОШИ. СОПРЯЖЕННАЯ СИСТЕМА. СТРУКТУРА МАТРИЦЫ КОШИ. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ФОРМУЛЫ КОШИ. ПОНЯТИЕ О МЕТОДЕ ПРЯМЫХ.

§1. Постановка задачи Коши для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть x1 (t) , x2 (t) ,…, xn (t) – непрерывно дифференцируемые

действительные функции;

f1 (t) ,

f2 (t) , …,

fn (t) и a11 (t) , a12 (t) ,...,

a1n (t) , a21 (t) ,

a22 (t),…,

a2n (t) ,

an1(t) ,…,

amn (t)

–

непрерывные действительные

функции,

t [t0 ,t* ] R .

Рассмотрим следующую систему линейных дифференциальных

уравнений:

d

ì

x (t) = a (t)× x + a (t) × x +...+ a

(t) + f

(t),

ïdt

1

11

1

12

2

1n

1

ï

d

x (t) = a

21

(t) × x

+ a

22

(t) × x

+...+ a

2n

(t) + f

2

(t),

ï

2

1

2

(1.1.1)

ídt

ï¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼

ï

d

ï

x (t) = a

(t) × x

+ a

(t) × x

+...+ a

(t) + f

(t).

îdt n

n1

1

n2

2

nn

n

Введем следующие обозначения:

X = (x (t), x

(t),...,x

(t))T

f = ( f (t), f

2

(t),..., f

n

(t))T

,

1

2

n

,

a

1

(t)ù

éa

(t)

ê 11

1n

ú

A=[a (t),i =

, j =

]=êa21(t)

a2n (t)ú .

1,m

1,n

ij

ê..................... ú

ê

ú

ëan1(t) ann (t)û

С учетом введенных обозначений систему (1.1.1) можно переписать в

следующем виде:

d

X = A(t) × X + f (t) , t ] t0 ,t* ],

t Î R,

f Î Rn , X Î Rn .

(1.1.2)

dt

Данное векторное уравнение имеет сколь угодно много решений. Для

выделения

единственного

решения

к

уравнению необходимо

добавить

начальные условия для вектора состояния X (t)

– условия Коши.

Рассмотрим задачу Коши:

ì d

X = A(t) × X + f (t), t Î] t0 ,t

*

],

ï

(1.1.3)

ídt

ï

,

îX (t0 ) = X0

где X

0

= (x0

, x0 ,..., x0 )T

R .

1

2

n

Замечание 1. Из общей теоремы Коши о существовании и единственности решения нормальной системы дифференциальных уравнений сразу следует, что если функции A(t), f (t) непрерывны на интервале ] t0 ,t* [ , то

на нем существует единственное решение задачи Коши (1.1.3).

6

Замечание 2. Теорема Коши дает достаточные условия существования и единственности, т.е. задача Коши может иметь единственное решение и при невыполнении какого-либо условия теоремы.

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Коши Огюстен Луи (Cauchy Augustin Louis) (1789 – 1857) – выдающийся французский математик. Родился в Париже. В 1816 – 1830 гг. преподавал в Политехнической школе и Коллеж де Франс. С 1848 г. в Парижском университете и в Коллеж де Франс. Кавалер ордена Почетного легиона. Огюстен Коши написал свыше 800 работ. Коши впервые ввел строгие определения основных понятий математического анализа. Курсы анализа Коши, основанные на использовании определении предела,

послужили образцом для учебников позднейшего времени. В теории дифференциальных уравнений

Огюстену Коши принадлежат постановка одной из основных задач качественной теории – задачи Коши,

доказательства основных теорем существования и единственности решений, методы интегрирования уравнений с частными производными первого порядка.

§2. Формула Коши

Наряду с неоднородной системой (1.1.3) будем рассматривать однородную систему:

ì d						*
ï			X = A(t) × X ,t			Î[t0 ,t	],			(1.2.1)
ídt
ï
îX (t0 ) = X0.
Пусть Fi (t,τ )			– решение векторного уравнения					d	F i (t,τ ) = A(t)× Fi (t,τ ) с
начальным условием F i (t					) = ei			dt
				,t		, где e i = ( 0 ,..., 0 ,1.., 0 ,..., 0 )				– нулевой вектор с
			0	0			{
единицей на i -м месте.							i
Обозначим через F (t,τ )						n×n матричную функцию,				составленную из
F i (t,τ ) как из столбцов, где i принимает значения от 1 до n .
Функция F (t,τ )			однозначно определена для любого значения аргумента t .

Эта функция абсолютно непрерывна и удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений:

ì d		F(t,τ ) = A(t) × F(t,τ ),
ï			(1.2.2)
ídt
ï
îF(t0 ,t0 ) = E.
Здесь E – единичная матрица.
Замечание.		Функции типа F (t,τ ) называют функциями Коши

(функциями Грина) или функциями точечного источника. Они имеют следующий физический смысл. Каждый i -й столбец функции F i(t,τ ) представляет собой отклик в момент времени t однородной системы (1.2.1), которую возмутили в момент времени t0 единичным вектором X0 = ei .

7

Рассмотрим следующую функцию:

X (t) = X1 (t) + X 2 (t) .

Здесь X1 (t) , X2 (t) – решения следующих задач Коши соответственно:

ì d				X1 = A(t) × X1,
ï
ídt
ï				(t0 ) = X0 ;
îX1
ì d				X 2 = A(t) × X2 + F(t),
ï
ídt
ï				(t0 ) = 0.
îX2

(1.2.3)

(1.2.4)

(1.2.5)

Нетрудно заметить, что функция (1.2.3) является решением неоднородной системы уравнений (1.1.3). Действительно,

dtd (X (t)) = dtd X1(t) + dtd X2 (t) = A(t) × X1 + A(t) × X 2 + f (t) =

= A(t)×(X1(t) + X 2 (t)) + f (t) = A(t)× X + f .

Функция (1.2.3) удовлетворяет также начальным условиям:

X (t0 ) = X1(t0 ) + X2 (t0 ) = X0.

Поскольку векторы				ei , i =			1,n		,	образуют базис в пространстве Rn , то любой
вектор X 0 Î Rn может быть представлен в виде (разложен по базису):
					n
			X0 = åαi ×ei					,		Xi	= (α1,α2 ,....,αn )T .
					i=1
						n
Введем функцию Y1(t) = åαi								× Fi (t,t0 ) . Продифференцировав ее, получаем
	d Y1					i=1
			(t) =åαn × d Fi (t,t0) =åαn × A(t)×Fi (t,t0) = A(t)×åαi ×Fi (t,t0) = A(t)×Y1 ,
			n							n	n
	dt		i=1		dt					i=1	i=1
						n					n
			Y10 (t0 ) = åαn × F i (t0 ,t0 ) =åαi ×ei = X 0.
						i=1					i=1
Таким образом, функция Y1 (t)										удовлетворяет тому же уравнению и тому же
начальному условию, что и функция											X1 (t) . Поэтому в силу существования и

единственности решения задачи Коши (1.2.1) эти функции совпадают друг с другом:

						n
			X1(t) = Y1(t) = åαn × F i (t,t0 ) = F(t,t0 ) × X0.					(1.2.6)
Введем функцию Y2 (t) = òt					i=1
				F(t,τ ) × f (τ )dτ.			Продифференцировав ее, получаем
			t0
	d			t d			t
		Y2	= F(t,t)× f (t) + ò			F(t,τ)dτ = f (t) + òA(t)×F(t,τ)× f (τ)dτ = f (t) +
	dt				dt
				t0			t0

t

+ A(t)×òF(t,τ)× f (τ)dτ = f (t)+ A(t)×Y2(t).

t0

Очевидно, что Y2 (t0 ) = 0 .

8

Таким образом, функция Y2 (t) удовлетворяет тому же уравнению и тому же начальному условию, что и функция X 2 (t) . Поэтому в силу существования и единственности решения задачи Коши (1.2.5) функции X2 (t) и Y2 (t) совпадают.

Подставляя функции X1 (t) и X2 (t) в выражение (1.2.3), получаем

знаменитую формулу Коши для аналитического представления решения линейных неоднородных систем дифференциальных уравнений (1.1.3) через матрицу влияния Коши:

t
X (t)=F(t,t0 )×X0 +òF(t,τ )× f (τ )dτ .	(1.2.7)
t0

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Грин Джордж (Green George) (1793 – 1841) –

выдающийся английский математик. В своей работе «Опыт применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма» (1828) Д. Грин впервые ввёл понятие потенциала. Опираясь на

найденное им соотношение между интегралами по объёму и поверхности, ограничивающей объём, получил знаменитые формулы Грина. В этой же работе была введена функция, которая впоследствии получила название функции Грина. Ее часто называют также функцией точечного источника. Она лежит в

основе принципа суперпозиции линейных дифференциальных систем. В 1839 г. выполнил

важную работу по отражению и преломлению света в кристаллических средах, в которой разработал метод

вывода дифференциальных уравнений теории упругости.

§3. Сопряженная система. Структура матрицы Коши

Вновь рассмотрим систему (1.1.3). Относительно X (.) проделаем

	следующие действия.
	Продифференцируем функцию X (τ )									по τ , домножим слева на некоторую
	матрицу F (t,τ )		и проинтегрируем на промежутке решения задачи:
	t	d				t				t
	òF(t,τ )			X (τ )dτ = òF(t,τ ) × A(τ ) × X (t) ×τdτ + òF(t,τ ) × f (τ )dτ .							(1.3.1)
	t0	dt				t0				t0
	Преобразуем левую часть (1.3.1), используя формулу интегрирования по
	частям:									t
	t
	òF(t,τ )				d	X (τ )dτ = F(t,τ ) × X (τ )		tt	- ò ¶F(t,τ ) × X (τ )dτ .		(1.3.2)
					dt
	t0								0	¶τ
										t0

Приравнивая правые части (1.3.1) и (1.3.2), получаем

9

	t		t
	òF(t,τ )× A(τ )× x ×τdτ + òF(t,τ )× f (τ)dτ =
	t0		t0	× X (τ )dτ .
	= F(t,t)× X (t) - F(t,t0 )× X (t0 ) - ò ∂F(t,τ)
			t
			t0 ¶τ
Введем функцию F (t,τ ) :
ì¶F(t,τ )			= -F (t,τ )× A(τ ),
ï	¶τ
í
ï		= E.
îF(τ ,τ )

(1.3.3)

(1.3.4)

Подставляя в формулу (1.3.3) и приводя подобные, получаем хорошо известную нам формулу Коши:

t
X (t)=F(t,t0 )×X0 +òF(t,τ )× f (τ )dτ.	(1.3.5)
t0
Замечание. Система (1.3.4) называется сопряженной системой для
подсчета фундаментальной матрицы F(t,τ ) . Напомним,	что прямая система

определяется соотношениями (1.2.2).

Вновь рассмотрим неоднородную систему линейных уравнений (1.2.1).

Общее решение линейной однородной системы представимо в следующем

виде: X (t) = F (t)×C, где		F(t) – фундаментальная матрица, столбцами которой
являются	элементы	фундаментальной	системы	решений	(ФСР)

F(t) = (X1(t), X 2 (t),..., X n (t)); С – вектор произвольных постоянных C = (C1,C2 ,...,Cn ),

C Î Rn .

Классическим методом решения дифференциальных уравнений и систем является метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Согласно этому

методу решение неоднородной системы (1.1.3) ищется в виде
X (t) = F(t) ×C(t) ,	(1.3.6)
где C = (C1(t),C2 (t),...,Cn (t)) – вектор неизвестных функций.
Подставляя (1.3.6) в уравнение системы (1.1.3),	получаем:

A(t)× F(t) ×C(t) + F(t) ×C' (t) = A(t) × F(t) ×C(t) + f (t) , поскольку каждый столбец матрицы F(t) является решением однородной системы (1.2.1).

Упрощая, получаем

d

C(t) = F −1(t)× f (t);

t

C(t) = ò F −1(τ ) × f (τ )dτ + C1.

dt

t0

Тогда общее решение X (t) = F(t) ×C(t)

неоднородной линейной системы

выпишется в следующем виде:

t

X (t) = F(t) ×C1 + òF −1(τ ) × f (τ )dτ + C .

(1.3.7)

t0

Подставляя

t = t0

и

учитывая начальные условия X (t0 ) = X 0 ,

получаем:

X (t

) = F(t

) ×C = X

0

;

C

1

= F −1 (t

0

) × X

0

. Производим подстановку в

(1.3.7) и

0

0

1

окончательно получаем единственное решение, удовлетворяющее исходной системе дифференциальных уравнений (1.1.3):

10