Тема 7. Дисперсионный анализ

Основной целью дисперсионного анализа является исследование значимости различия между средними. Если вы просто сравниваете средние в двух выборках, дисперсионный анализ даст тот же результат, что и обычный t-критерий для независимых выборок (если сравниваются две независимые группы объектов или наблюдений) или t-критерий для зависимых выборок (если сравниваются две переменные на одном и том же множестве объектов или наблюдений).

Может показаться странным, что процедура сравнения средних называется дисперсионным анализом. В действительности, это связано с тем, что при исследовании статистической значимости различия между средними двух (или нескольких) групп, мы на самом деле сравниваем (т.е. анализируем) выборочные дисперсии. Фундаментальная концепция дисперсионного анализа предложена Фишером в 1920 году. Возможно, более естественным был бы термин анализ суммы квадратов или анализ вариации, но в силу традиции употребляется термин дисперсионный анализ.

Переменные, значения которых определяется с помощью измерений в ходе эксперимента (например, балл, набранный при тестировании), называются зависимыми переменными. Переменные, которыми можно управлять при проведении эксперимента (например, методы обучения или другие критерии, позволяющие разделить наблюдения на группы или классифицировать) называются факторами или независимыми переменными.

Однофакторный дисперсионный анализ при равном числе наблюдений на различных уровнях

Пусть число испытаний на уровне фактора равно числу испытаний на уровне фактора… равно числу испытаний на уровне фактораи равно. Исходные данные сгруппируем в таблицу

		…
		…
		…
…	…	…	…
		…

Выдвигаем гипотезу ‒ фактор не влияет на наблюдаемые значения.

Схема дисперсионногоанализа в данном случае выглядит так:

1. Введем обозначения:

‒ сумма квадратов наблюдаемых значений признака на уровне.

‒ сумма наблюдаемых значений признака на уровне.

2. Вычисляем общую и факторную суммы квадратов отклонений, учитывая, что число уровней фактора равно , число испытаний на каждом уровне равно.

,.

3. Найдем остаточную сумму квадратов отклонений:

.

4. Вычислим факторную и остаточную дисперсии:

,.

5. Определим наблюдаемое значение критерия Фишера:

.

6. Учитывая, что число степеней свободы факторной дисперсии , а число степеней свободы остаточной дисперсии, на заданном уровне значимостинаходимс помощью стандартной функцииMSExcel«FРАСПОБР».

7. Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, т.е. фактор не влияет на наблюдаемые значения.

–нулевую гипотезу отвергают, т.е. фактор оказывает влияние на наблюдаемые значения.

Однофакторный дисперсионный анализ при неравном числе наблюдений на различных уровнях

Пусть число испытаний на уровне фактора равно, на уровне фактораравно… на уровне фактораи равно. Исходные данные сгруппируем в таблицу

		…
		…
		…
…	…	…	…
…	…	…
…	…
…
…

Выдвигаем гипотезу ‒ фактор не влияет на наблюдаемые значения.

Схема дисперсионногоанализа в данном случае выглядит так:

1. Введем обозначения:

‒ сумма квадратов наблюдаемых значений признака на уровне.

‒ сумма наблюдаемых значений признака на уровне.

2. Вычисляем общую и факторную суммы квадратов отклонений, учитывая, что число уровней фактора равно , число испытаний на каждом уровне равно.

,,

где .

3. Найдем остаточную сумму квадратов отклонений:

.

4. Вычислим факторную и остаточную дисперсии:

,.

5. Определим наблюдаемое значение критерия Фишера:

.

6. Учитывая, что число степеней свободы факторной дисперсии , а число степеней свободы остаточной дисперсии, на заданном уровне значимостинаходимс помощью стандартной функцииMSExcel«FРАСПОБР».

7. Если – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу, т.е. фактор не влияет на наблюдаемые значения.

– нулевую гипотезу отвергают, т.е. фактор оказывает влияние на наблюдаемые значения.

Используемая литература: [1-5,8,9,11,13,15,18-21].