Тема 5. Корреляционный анализ. Ранговая корреляция

Весьма часто при проведении психологических исследований требуется установить зависимость изучаемой случайной величины от одной или нескольких других величин. Две случайные величиныимогут быть связаны либо функциональной зависимостью (), либо статистической зависимостью, либо быть независимыми.

Статистической называют зависимость, при которой каждому значению одной случайной величины соответствует свое распределение другой.

Частным случаем статистической зависимости является корреляционная зависимость, когда изменение одной из случайных величин влечет изменение среднего значения другой.

Сущность корреляционного анализа состоит в оценке тесноты связи между величинами и.

Числовой характеристикой тесноты линейной корреляционной связи двух случайных величин служит выборочный коэффициент корреляции Пирсона:

.

Свойства коэффициента корреляции:

1. ;

2. если и– независимые случайные величины, то;

3. если или, то данные равенства дают основание полагать, что между величинами имеет место быть зависимость;

4. если , то связь прямая (увеличение одного из исследуемых признаков (факторного) ведет к увеличению другого (результативного)), если, то связь обратная (увеличение одного из исследуемых признаков (факторного) ведет к уменьшению другого (результативного));

5. коэффициент корреляции дает основания полагать что:

• при связи практически нет;

• при связь слабая;

• при связь существенная;

• при связь тесная.

Ранжирование – расположение элементов по возрастанию (убыванию) признака.

Ранг – номер в упорядоченном списке.

Коэффициенты ранговой корреляции, как правило, используются, если объекты генеральной совокупности обладают двумя качественными признаками, то для оценки степени связи признаков используют. Под качественным подразумевается признак, который невозможно измерить точно. Такие признаки оцениваются во всевозможных опросниках в дихотомических или номинальных шкалах. Номинальные случайные величины позволяют сравнивать объекты между собой и, следовательно, располагать их в порядке убывания или возрастания качества. Для определенности будем всегда располагать объекты в порядке возрастания качества.

Пусть объекты обладают двумя качественными признаками и. Запишем полученные значения по данным признакам в два столбика.

Затем, расположим объекты первого столбика в порядке возрастания качества по признаку и справа припишем к ним соответствующие значения второго столбика. Присвоим объекту, стоящему на-ом месте число – ранг, равный порядковому номеру объекта, т.е. ранг,и т.д. В итоге получим последовательность рангов по признаку. По признакуприпишем каждому объекту ранг, следующим образом: если элемент, стоящий на-м месте является наименьшим элементом второго столбика, то ему присвоим ранг, следующему по величине элементу присвоим ранг 2 и т.д.

В итоге получим две последовательности рангов:

по признаку ,

по признаку .

Существует два подхода для оценки коэффициента ранговой корреляции.

Выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена вычисляют по формуле:

,

где n – объем выборки, .

Значения выборочного коэффициента ранговой корреляции принадлежат интервалу -1 < < 1. Если выборка содержит объекты с оди­на­ковым качеством, то каждому из них приписывается ранг, равный среднему ариф­метическому порядковых номеров объектов. Например, если объекты одинакового качества по первому признаку имеют порядковые номера 7 и 8, то их ранги соответственно равны 7,5.

Второй подход - выборочный коэффициент ранговой корреляции Кенделла. Назначение рангов проводится также. Изучаются нарушения порядка в ряду .

Пусть P_i – число, равное количеству рангов больших y_i и расположенных ниже y_i , Q_i – число, равное количеству рангов меньших y_i и расположенных ниже y_i, тогда выборочный коэффициент ранговой корреляции Кенделла вычисляется по формуле:

Значения выборочного коэффициента ранговой корреляции принад­лежат интервалу –1 < < 1.

При достаточно большом объеме выборки и при значениях коэффициентов ранговой корреляции, не близких к единице, имеет место приближенное равенство

.

Используемая литература: [1-5,8,9,11,13,15,18-21].