Основы математической статистики

Для того, чтобы получить наиболее полную информацию об изучаемом явлении, необходимо анализировать результаты не отдельных наблюдений, а множества однородных наблюдений. Результаты отдельных наблюдений могут оказаться случайными, неполно выражать сущность изучаемого явления. Очевидно, что наблюдаемые объекты обладают множеством признаков; однако, поставив своей задачей изучение лишь одного признака, мы тем самым полагаем, что в отношении остальных объекты равноправны, то есть множество объектов однородно.

Некоторое множество относительно однородных объектов, объединяемых по тому или иному признаку для совместного изучения, называется статистической совокупностью.Отдельные объекты статистической совокупности называютсячленами совокупности.

Первичным результатом статистического исследования является простой статистический ряд.Он представляет собой перечень членов совокупности и соответствующих им значений признака.

Вся подлежащая изучению совокупность однородных объектов называется генеральной совокупностью.Множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности, называетсявыборочной совокупностьюиливыборкой. Число объектов в генеральной совокупности или в выборке называют ихобъемами(в дальнейшем,N— объем генеральной совокупности,n— объем выборки).

Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем нас признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы свойства объектов выборки правильно отражали свойства объектов генеральной совокупности и структуру генеральной совокупности, т.е. выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Другими словами, выборка должна быть репрезентативной (представительной). Репрезентативность выборки достигается, если ее производят случайным образом (т.е. все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку). В достижении репрезентативности выборки заключается сутьвыборочного метода.

Одна из основных задач психологического статистического исследования: сделать вывод об интересующем признаке генеральной совокупности по данным выборки.

Это приводит нас к пониманию того обстоятельства, что одним из основных методов психологического статистического исследования является выборочный метод.

Выборочный метод

Выборочный метод – это статистический метод исследования общих свойств генеральной совокупности каких-либо объектов на основе изучения свойств лишь части этих объектов, взятых на выборку.

Классификации выборочного наблюдения

Характеристики генеральной и выборочной совокупности

Характеристики	Генеральная совокупность	Выборочная совокупность
Средняя
Дисперсия
Доля

–варианты;

, – число групп в вариационном ряду, составленном по генеральной совокупности и выборке соответственно;

,– частоты в генеральной и выборочной совокупности соответственно;

, – объемы генеральной и выборочной совокупности соответственно;

, – число элементов генеральной и выборочной совокупности соответственно, обладающих данным признаком.

Выборочные характеристики, очевидно, отличаются от истинных значений генеральной совокупности. Разница в этих характеристиках называется ошибкой выборки или ошибкой репрезентативности.

Одной из задач статистики является количественное измерение этой ошибки.

Доказано, что она зависит от:

• объема выборки;

• степени вариации признака;

• методов отбора элементов в выборку;

• принятого уровня достоверности результата исследования.

Далее, мы будем рассматривать случай собственно случайной или механической выборки. Среднюю ошибку выборки для данного случая обозначим буквой . Формулы для вычисленияв случае оценки параметров генеральная средняя и генеральная доля приведены в таблице.

Оцениваемый параметр	Повторная выборка	Бесповторная выборка
Генеральная средняя
Генеральная доля

Предельную ошибку выборки для данного случая обозначим буквой . Ее связывает со средней ошибкой выборки следующее соотношение:, где– коэффициент кратности. Данный коэффициент можно вычислить, самостоятельно задав надежность оценки (доверительную вероятность), так какисвязаны между собой при помощи функции Лапласаследующим образом:. Таблицу значений функцииможно найти в приложениях учебного пособия для вузов «Теория вероятностей и математическая статистика», автором которого является В.Е. Гмурман. Мы здесь приведем несколько соответствующих значенийидля работы на занятии и самостоятельной работы по данной теме:

• если , то;

• если , то;

• если , то.

Задав самостоятельно доверительную вероятности, мы можем рассчитать объем выборки, необходимый для правильного проведения исследования. Ниже приводятся формулы для вычисления объема выборки в случае, если в результате исследования мы хоти оценить генеральную среднюю и генеральную долю.

Оцениваемый параметр	Повторная выборка	Бесповторная выборка
Генеральная средняя
Генеральная доля

В случае, когда выборка является серийной, средняя ошибка выборки рассчитывается по формуле , где. Здесь– число серий в выборке,– число серий в генеральной совокупности,– выборочная межгрупповая дисперсия (– средние в группах,– выборочная средняя,– число групп).

Используемая литература: [1-5,6,9,12,18-21].