Тема 6. Регрессионный анализ

Для описания, анализа и прогнозирования явлений и процессов в психологии применяют математические модели в форме уравнений и функций.

Модель психологического процесса, отражая основные его свойства и абстрагируясь от второстепенных, позволяет судить о его поведении в определенных конкретных условиях.

В случае применения регрессионных моделей, результат действия психологической системы или объекта в виде одного или нескольких выходных показателей представляется как функция влияющих на него факторов. Некоторые из этих факторов оказывают существенное влияние на результат, другие – весьма незначительное.

В общем случае, модель психологического процесса (явления) выглядит так:

,

где – результирующий показатель,– функция нескольких переменных,– существенные факторы,– несущественные факторы.

В психологии ничего нельзя предугадать наверняка, но на протяжении относительно небольших временных периодов и в пределах отдельных психологических подсистем имеет место стабильность в условиях совершения массовых событий. По крайней мере (особенно при прогнозировании), подразумевается возможность многократного повторения ситуации, быть может, при других значениях существенных и несущественных факторов, однако, при относительно стабильном комплексе внешних условий.

Парная линейная регрессия

В этом случае есть только один существенный фактор , который и влияет на результати линейная регрессионная модель записывается так:

, (1)

где

.

В данном случае – существенная составляющая (детерминированная),– несущественная составляющая (недетерминированная),– коэффициент регрессии.

Существенная составляющая здесь задана линейно, поэтому такая регрессия и называется парная линейная: пара факторов (существенный влияющий и результативный) и существенный влияющий задан линейно.

Парная линейная регрессия выполняется в три этапа:

1. Построение модели линейной регрессии.

С помощью метода наименьших квадратов можно показать, что уравнение теоретической линии регрессии имеет вид

, (2)

где ‒ среднее арифметическое эмпирических значений результирующего показателя,‒ среднее арифметическое эмпирических значений существенного фактора, коэффициентвычисляется по формуле:

,

где и‒ эмпирические значения существенного фактора и результирующего показателя соответственно.

Уравнение (2) можно привести к виду . В программеMSExcelпараметрвычисляется с помощью стандартной функции «НАКЛОН», параметрс помощью стандартной функции «ОТРЕЗОК».

2. Проверка существенности отклонения параметра от нуля.

Так как оценка получена по выборке, то всегда имеет место быть отклонение данной оценки от истинного значения соответствующего параметра генеральной совокупности. При этом может оказаться, что факторне влияет на результирующий показатель, что эквивалентнодля генеральной совокупности, однако, при этом соответствующий выборочный коэффициентотличен от нуля.

Для проверки существенности отклонения от нуля служит критерий значимости. Алгоритм данного критерия таков:

• выдвигаем гипотезу ;

• рассчитываем эмпирическую значимость

,

где ‒ объем выборки,‒ это теоретические значения результирующего показателя, полученные при подстановке в уравнение (2) значенийдля.

• с помощью стандартной функции MSExcel«СТЬЮДРАСПОБР» вычисляем теоретическую значимостьдлястепеней свободы и заданного уровня значимости.

• если , то с вероятностью ошибкипринимается гипотеза, т.е. факторисключается из модели и, тем самым, принимается описание системы наблюдений с помощью среднего арифметического(из уравнения (2) при);

если , то гипотезаотвергается, т.е. фактороказывает влияние на результат.

3. Оценка адекватности модели.

В качестве меры того, насколько хорошо данная регрессионная модель описывает систему наблюдений, служит коэффициент детерминации:

.

Чем ближе к единице, тем лучше данная модель описывает систему наблюдений.

Используемая литература: [1-5,8,9,11,13,15,18-21].