Тема 2. Случайные величины. Рас­пре­­деления случай­ных величин

Случайная величина – числовая величина, сопоставляемая случайному событию, – результат отображения множества случайных событий на числовое множество. Случайная величина может принимать значения из заданного ряда или интервала значений.

Дискретной называют случайную величину, которая может принимать отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений может быть конечным или счетным (бесконечным).

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения задается аналитически, графически и таблично.

Например, таблично закон распределения задается следующим образом:

			…

Причем, .

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли (повторные испытания):

Формула позволяет определить вероятность получить k успехов в n испытаниях, в каждом из которых вероятность успеха постоянна и равна p , а вероятность неуспеха q=1-p.

Закон распределения Пуассона выражается формулой

, .

Формула Пуассона применяется когда велико, а мало(0,1). Причем есть величина постоянная.

Потоком событий называется последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени. Интенсивностью потока  называют среднее число событий, которое появляется в единицу времени.

Вероятность появления событий простейшего потока за время определяется формулой Пуассона:

, .

В психологии используются случайные величины:

дихотомические (бинарные) – принимают значения 0 или 1, да или нет;

номинальные – принимают значения из ряда чисел (уровень признака);

номинативные­ – получают значение – число – номер ответа из списка, в котором один правильный ответ;

интервальные – соответствуют непрерывным случайным величинам.

Первые три из этого списка дают, так называемые, сырые результаты тестов, которые, как правило, используются для вычисления некоторых числовых оценок результатов теста. Следует изучить особенности таких случайных величин с точки зрения смысла арифметических операций над ними. Например, для номинативных случайных величин нет никакого смысла в арифметических операциях над ними, и для их использования, обычно, их преобразуют в дихотомические и т.д. Типичным примером необоснованно произвольного использования статистических методов, не имеющего никакого научного основания, является вычисление средней оценки по предмету (и тем более по предметам) в качестве оценки успеваемости в группе или успешности учебного процесса.

Функция распределения вероятностей случайной величины.

Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величинав результате испытания примет значение не большее, т.е..

Функцию распределения называют также интегральной функцией. Непрерывная случайная величина имеет непрерывную функцию распределения.

Свойства функции распределения:

1. Значение функциипринадлежит интервалу [0;1], т.е.;

2. – неубывающая функция, т.е. , если;

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , топри, при.

Вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу равна приращению функции распределения на этом интервале: .

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна 0.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины (НCВ) называют функцию – первую производную от функции распределения:

Вероятность того, что НСВ примет значение, принадлежащее интервалу , равна:

Если известна функция плотности распределения , то функция распределениянаходится по формуле:

.

Свойства плотности распределения:

1. является неотрицательной функцией, т.е.;

2. Несобственным интеграл от плотности распределения равен 1:

.

Числовые характеристики дискретной случайной величины

Математическим ожиданием дискретной случайной величины (ДСВ) называют сумму произведений всех её возможных значений на их ве­роятности:

Отклонением называют разность между случайной величиной и её математическим ожиданием .

Дисперсией (рассеянием) ДСВ называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

.

Дисперсию удобно вычислять с помощью формулы:

.

Средним квадратичным отклонением называют корень квадратный из дисперсии:

.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Пусть значения HСB принадлежат отрезку .

Математическим ожиданием НCВ называется величина

.

Дисперсией НСВ называется математическое ожидание квадрата её отклонения:

Дисперсию удобно вычислять по формуле:

Среднее квадратичное отклонение НСВ определяется равенством:

.

Если возможные значения НСВ принадлежат всей числовой оси, то пределы интегрирования берутся от - до  .