3.3. Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой графика функции называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от переменной точки на графике до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки графика от начала координат.

Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты:

1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при или равен бесконечности, т.е. или . Тогда прямая является вертикальной асимптотой графика функции .

Очевидно и обратное, если прямая вертикальная асимптота, то хотя бы один из пределов или бесконечен. Таким образом, вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции или на концах ее области определения , если и – конечные числа.

2. Пусть функция определена при достаточно больших и существует конечный предел функции . Тогда прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .

Замечание. Если конечен только один из пределов или , то функция имеет лишь левостороннюю , или правостороннюю горизонтальную асимптоту.

3. Пусть функция определена при достаточно больших и существуют конечные пределы и . Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции .

Наклонная асимптота, так же как и горизонтальная, может быть правосторонней (при ) и левосторонней (при ). Для их существования необходимо существование обоих пределов (конечных) и .

Пример 1. Найти асимптоты графика функции

Решение. 1. Найдем вертикальные асимптоты. В точке = 1 функция не определена. Вычислим: Следовательно, точка = 1 является точкой бесконечного разрыва, значит, прямая = 1 является вертикальной асимптотой.

2. Найдем горизонтальные асимптоты. Вычислим: .

Следовательно, горизонтальных асимптот функция не имеет.

3. Найдем наклонные асимптоты. Для уравнения вычислим и .

При вычислении пределов использовано правило Лопиталя.

Оба предела существуют и конечны, значит, прямая - правая наклонная асимптота.

Заметим, что вычисленные пределы останутся такими же, если . Значит, является и левой наклонной асимптотой.

Пример 2. Дана функция затрат на производство единиц продукции: . Тогда, средние затраты на выпуск единицы продукции . Оценить поведение функции средних затрат при неограниченном возрастании .

Решение. Найдем функцию средних затрат:

Нужно оценить поведение этой функции при неограниченном возрастании , т.е. асимптотическое поведение функции при или найти правую наклонную асимптоту графика этой функции.

Таким образом, прямая является правой наклонной асимптотой. Значит, функция средних затрат ведет себя при достаточно больших как прямая .

3.4. Направление выпуклости и точки перегиба графика функцииy = f(x)

Определение. График дифференцируемой функции называется выпуклым вверх (вниз) на (можно говорить соответственно выпуклым (вогнутым)), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале.

Теорема. Пусть функция имеет на . Если для любого < 0, то график функции на выпуклый вверх (выпуклый), а если > 0 - то выпуклый вниз (вогнутый).

Определение. Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую вверх часть от выпуклой вниз части (выпуклую часть от вогнутой части), называется точкой перегиба.

Теорема (необходимый признак существования точки перегиба). В точке перегиба графика функции вторая производная либо равна нулю, либо не существует.

Замечания. 1. Необходимый признак существования точки перегиба не является достаточным. Например, для функции = 0, но точка (0;0) не является точкой перегиба.

2. Точки, в которых = 0 или не существует, называются критическими точками второго рода.

Теорема (достаточный признак существования точки перегиба). Если функция имеет вторую производную в некоторой окрестности точки и при переходе через точку меняет знак на противоположный, то точка точка перегиба графика функции .