- •Математика:
- •Текст печатается в авторской редакции Содержание
- •Предисловие
- •Методические рекомендации
- •Шкала оценок, правила вычисления рейтинга и возможности его повышения
- •Модульhо-рейтиhговая структура курса "математика”
- •Модульно-рейтинговая структура, график контроля в 1 семестре (корректируется для каждой специальности)
- •Модуль 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •1. Производная функции
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •1.2. Геометрический смысл производной
- •1.3. Геометрические приложения производной
- •1.4. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Правила дифференцирования
- •1.5. Таблица производных основных элементарных функций
- •1.6. Производная обратной и сложной функций
- •1.7. Производные высших порядков
- •1.8. Логарифмическое дифференцирование
- •1.9. Дифференцирование неявных функций
- •1.10. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •1.11. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •Свойства дифференциала
- •2.2 Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •2.3. Теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.4. Правило Лопиталя
- •2.5. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •3. Исследование поведения функций и построение графиков
- •3.1. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции
- •3.2. Признаки существования экстремумов функции
- •Достаточные условия существования экстремума
- •Правило нахождения экстремумов функции
- •3.3. Асимптоты графика функции
- •Правило нахождения точек перегиба функции
- •3.5. Общая схема исследования функций и построения графиков
- •I. Исследование с помощью элементарной математики
- •II. Исследование с помощью теории пределов
- •III. Исследование с помощью производной
- •IV. Нахождение дополнительных точек, уточняющих график
- •V. Построение графика функции
- •I. Исследование с помощью элементарной математики
- •II. Исследование с помощью теории пределов
- •3.7. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •Найти производную неявно заданной функции
- •3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
- •4. Найти второй дифференциал d2y функции
- •5. Вычислить предел , используя правило Лопиталя
- •6. Исследовать функцию и построить график
- •Решение типового варианта
- •Тестовое задание к модулю 3 "Дифференциальное исчисление функции одной переменной”
- •Образец текущего контроля к модулю 3
- •Теоретические вопросы
- •Рекомендуемая литература Основная литература
- •Дополнительная литература
1.5. Таблица производных основных элементарных функций
Пусть a; c; n – const, тогда
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
Пример 1. Найти производную функции .
Решение.
Пример 2. Найти производную функции .
Решение.
Пример 3. Найти производную функции
Решение
Пример 4. Найти производную функции .
Решение.
Пример 5. Найти производную функции и вычислить ее частное значение при .
Решение.
1.6. Производная обратной и сложной функций
Теорема. (Правило дифференцирования обратной функции). Пусть функция дифференцируема в точке, причеми существует обратная функцияв окрестности соответствующей точки. Тогда существует производная.
Определение. Если , где, тоназываетсясложной функцией от или суперпозицией функций и обозначается.
Теорема. (Правило дифференцирования сложной функции). Пусть и– две дифференцируемые функции, причем область значений второй функции входит в область определения первой. Тогда производная сложной функциипо аргументуравна производной функциипо промежуточному аргументу, умноженной на производную промежуточного аргументапо независимой переменной, то есть, .
Таблица производных сложных функций
Пусть – сложная функция и n, a – const, тогда
Пример 1. Найти производную функции .
Решение.
Пример 2. Найти производную функции .
Решение.
Пример 3. Найти производную функции .
Решение
Пример 4. Найти производную функции .
Решение.
Пример 5. Найти производную функции .
Решение.
Пример 6. Найти производную функции .
Решение.
1.7. Производные высших порядков
Если задана дифференцируемая функция , то ее производная также является функцией аргумента . Можно ставить вопрос о существовании ее производной.
Определение. Производную от производной данной функции, если она существует, называют производной второго порядка или второй производной от данной функции и обозначают символом .
Таким образом, . Ввиду такого определения, производную называют производной первого порядка или первой производной.
Механический смысл второй производной заключается в следующем: вторая производная от пути по времени , как производная скорости , есть скорость изменения скорости движения, т.е. ускорение ; =.
По аналогии с введением производной второго порядка можно ввести понятие производной любого порядка.
Определение. Производной -го порядка от данной функции называется производная от производной ()-го порядка этой же функции.
Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры, например, илии т. д.
Пример 1. Найти , если.
Решение.
.
Пример 2. Пусть . Найти -ую производную .
Решение. , , ,..., .
1.8. Логарифмическое дифференцирование
Определение. Логарифмической производной функции называется производная от натурального логарифма модуля этой функции, т.е. .
Логарифмическое дифференцирование применяется:
если заданная функция содержит логарифмирующиеся операции (умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня);
для нахождения производной показательно-степенной функции .
Схема метода логарифмического дифференцирования
Пусть , тогда:
логарифмируем обе части уравнения по основанию , т.е. ;
используя свойство логарифмов , получим ;
дифференцируем обе части последнего равенства, учитывая, что есть сложная функция от, аu(x) и v(x) – элементарные функции от x.
так как , следовательно,
.
Пример 1. Пусть . Найти производную .
Решение. 1); 2). ;
3) . ;
4) Так как , следовательно, .
Пример 2. Найти производную , если .
Решение. 1) 2)
3)
4) Так как , следовательно,