- •Математика:
- •Текст печатается в авторской редакции Содержание
- •Предисловие
- •Методические рекомендации
- •Шкала оценок, правила вычисления рейтинга и возможности его повышения
- •Модульhо-рейтиhговая структура курса "математика”
- •Модульно-рейтинговая структура, график контроля в 1 семестре (корректируется для каждой специальности)
- •Модуль 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •1. Производная функции
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •1.2. Геометрический смысл производной
- •1.3. Геометрические приложения производной
- •1.4. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Правила дифференцирования
- •1.5. Таблица производных основных элементарных функций
- •1.6. Производная обратной и сложной функций
- •1.7. Производные высших порядков
- •1.8. Логарифмическое дифференцирование
- •1.9. Дифференцирование неявных функций
- •1.10. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •1.11. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •Свойства дифференциала
- •2.2 Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •2.3. Теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.4. Правило Лопиталя
- •2.5. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •3. Исследование поведения функций и построение графиков
- •3.1. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции
- •3.2. Признаки существования экстремумов функции
- •Достаточные условия существования экстремума
- •Правило нахождения экстремумов функции
- •3.3. Асимптоты графика функции
- •Правило нахождения точек перегиба функции
- •3.5. Общая схема исследования функций и построения графиков
- •I. Исследование с помощью элементарной математики
- •II. Исследование с помощью теории пределов
- •III. Исследование с помощью производной
- •IV. Нахождение дополнительных точек, уточняющих график
- •V. Построение графика функции
- •I. Исследование с помощью элементарной математики
- •II. Исследование с помощью теории пределов
- •3.7. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •Найти производную неявно заданной функции
- •3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
- •4. Найти второй дифференциал d2y функции
- •5. Вычислить предел , используя правило Лопиталя
- •6. Исследовать функцию и построить график
- •Решение типового варианта
- •Тестовое задание к модулю 3 "Дифференциальное исчисление функции одной переменной”
- •Образец текущего контроля к модулю 3
- •Теоретические вопросы
- •Рекомендуемая литература Основная литература
- •Дополнительная литература
2.4. Правило Лопиталя
При вычислении пределов мы часто сталкиваемся с неопределенностями вида или . Следующая теорема позволяет их раскрыть, используя понятие производной.
Теорема. (Правило Лопиталя). Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки (кроме, может быть, самой точки ), причем . Кроме того (или =¥).
Тогда из существования следует существование
.
Пример 1. Найти .
Решение.
.
Пример 2. Найти .
Решение. .
Замечание. Неопределенности вида и сводятся к неопределенностям вида или элементарными преобразованиями.
Пример 3. Найти .
Решение. ==
=.
Пример 4. Найти
Решение. =
= .
Замечание. Неопределенности вида ,,приводятся к неопределенностям вида или с помощью тождества .
Пример 5. Найти .
Решение. Заметим, что . Воспользуемся формулой: . Тогда,
2.5. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
I. Найти дифференциалы функций:
1. 2. 3.
4. 5.
II. Найти дифференциалы первого и второго порядков функций:
1. 2. 3.
III. Сравнить приращение и дифференциал функций:
1. 2. 3. при и
IV. Вычислить приближенно с помощью дифференциала:
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
V. Найти пределы функций, используя правило Лопиталя:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.;
10. 11. 12.
13. 14. 15.
3. Исследование поведения функций и построение графиков
3.1. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции
Определение. Функция возрастает (убывает) на некотором интервале, если для любых точек из этого интервала ().
Возрастающие и убывающие функции объединяются общим названием – монотонные функции.
Теорема. (Необходимое условие возрастания (убывания) функции). Если дифференцируемая на функция возрастает (убывает), то ее производная () для .
Теорема. (Достаточное условие возрастания (убывания) функции). Если непрерывная на функция имеет положительную (отрицательную) производную на , то эта функция возрастает (убывает) на .
Пример 1. Найти интервалы монотонности функции .
Решение. .Очевидно, что при и при , т.е. функция убывает на интервалеи возрастает на интервале, где– абсцисса вершины параболы.
Замечание. Необходимое условие монотонности более слабое, т.е. в отдельных точках производная может равняться нулю.
Пример 2. Найти интервалы монотонности функции .
Решение. .Очевидно, что при . Припроизводная обращается в нуль. Функция же монотонно возрастает на всей числовой оси.
3.2. Признаки существования экстремумов функции
Определение. Функция имеет в точке максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , что для ,, выполняется неравенство ().
Максимумы и минимумы объединяются общим названием – экстремумы функции.
Экстремум функции часто называют локальным экстремумом (локальный максимум и локальный минимум).
Теорема. (Необходимый признак существования экстремума функции).
В точке экстремума непрерывной функции производная функции либо равна нулю, либо функция не дифференцируема.
Замечания. 1. Непрерывная функция может быть в точках экстремума и недифференцируемой. Например, для функции точка минимумане является точкой дифференцируемости (см. рис. 3.). Такая точка называетсяугловой.
Рис. 3 Рис. 4
Для функции точка минимуматак же не является точкойдифференцируемости (см. рис. 4.). Такая точка называется точкой возврата. Касательная к графику функции в этой точке вертикальна.
2. Необходимое условие существования экстремума не является достаточным. Например, для функции производная , но в точке нет экстремума.
Определение. Критическими (или стационарными) называются точки, в которых выполнен необходимый признак существования экстремума, т.е. производная либо равна нулю или не существует.
Замечание. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.
Пример 1. Найти критические точки функции и убедиться в наличии или отсутствии экстремума в этих точках.
Решение.Производная . В точке и действительно, в точке функцияимеет экстремум (см. рис.5).
Рис. 5
Пример 2. Найти критические точки функции и убедиться в наличии или отсутствии экстремума в этих точках.
Решение. Функция возрастает на всей числовой оси по свойству степенной функции.Производная в точке , но экстремума в точке нет (см. рис. 6).
Рис. 6
Пример 3. Найти критические точки функции и убедиться в наличии или отсутствии экстремума в этих точках.
Решение. Функция также возрастает на всей числовой оси.Производная при не существует, т.е. , но экстремума в этой точке нет (см. рис. 7).
Рис. 7