- •Математика:
- •Текст печатается в авторской редакции Содержание
- •Предисловие
- •Методические рекомендации
- •Шкала оценок, правила вычисления рейтинга и возможности его повышения
- •Модульhо-рейтиhговая структура курса "математика”
- •Модульно-рейтинговая структура, график контроля в 1 семестре (корректируется для каждой специальности)
- •Модуль 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •1. Производная функции
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •1.2. Геометрический смысл производной
- •1.3. Геометрические приложения производной
- •1.4. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Правила дифференцирования
- •1.5. Таблица производных основных элементарных функций
- •1.6. Производная обратной и сложной функций
- •1.7. Производные высших порядков
- •1.8. Логарифмическое дифференцирование
- •1.9. Дифференцирование неявных функций
- •1.10. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •1.11. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •Свойства дифференциала
- •2.2 Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •2.3. Теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.4. Правило Лопиталя
- •2.5. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •3. Исследование поведения функций и построение графиков
- •3.1. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции
- •3.2. Признаки существования экстремумов функции
- •Достаточные условия существования экстремума
- •Правило нахождения экстремумов функции
- •3.3. Асимптоты графика функции
- •Правило нахождения точек перегиба функции
- •3.5. Общая схема исследования функций и построения графиков
- •I. Исследование с помощью элементарной математики
- •II. Исследование с помощью теории пределов
- •III. Исследование с помощью производной
- •IV. Нахождение дополнительных точек, уточняющих график
- •V. Построение графика функции
- •I. Исследование с помощью элементарной математики
- •II. Исследование с помощью теории пределов
- •3.7. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •Найти производную неявно заданной функции
- •3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
- •4. Найти второй дифференциал d2y функции
- •5. Вычислить предел , используя правило Лопиталя
- •6. Исследовать функцию и построить график
- •Решение типового варианта
- •Тестовое задание к модулю 3 "Дифференциальное исчисление функции одной переменной”
- •Образец текущего контроля к модулю 3
- •Теоретические вопросы
- •Рекомендуемая литература Основная литература
- •Дополнительная литература
Свойства дифференциала
Пусть и – дифференцируемые в точке функции и , тогда:
1) 2)
3) 4)
5) 6)
Замечания. 1. Так как =, то .
2. При достаточно малых приращениях , полное приращение функции , что используется в приближенных вычислениях.
Определение. Вторым дифференциалом (дифференциалом второго порядка) функции называется дифференциал от ее дифференциала, рассматриваемый как функция только основного аргумента (т.е. при постоянном ) и обозначается .
Найдем его выражение через вторую производную.
.
Аналогично вводится понятие дифференциала любого порядка.
Определение. Дифференциалом -го порядка некоторой функции называется дифференциал от дифференциала (-1)-го порядка, то есть .
Легко заметить, что . Откуда .
Пример 4. Пусть . Найти .
Решение. , .
.
2.2 Применение дифференциала в приближенных вычислениях
При достаточно малых полное приращение функции или , откуда
. (3)
Чем меньше , тем точнее эта формула. Абсолютная погрешность при замене функции ее дифференциалом вычисляется по формуле: , а относительная погрешность: .
Пример 1. Найти приращение и дифференциал функции при и . Вычислить абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции ее дифференциалом.
Решение. Определим и в общем виде.
.
По условию и . Следовательно, .
Абсолютная погрешность , а относительная – . Таким образом, произвели оценку погрешности, допущенной при замене на
Пример 2. Вычислить приближенно .
Решение. Полагая , найдем и в соответствии с формулой (3) . Учитывая, что , возьмем и . Тогда
Замечание. Используя дифференциал, по формуле (3) легко получить формулы, часто используемые на практике при :
1. 2. 3.
4. 5. 6. 7.
и т.д.
Пример 3. Вычислить приближенно .
Решение. Полагая , найдем и в соответствии с формулой (3) . Учитывая, что , возьмем и . Тогда .
2.3. Теоремы о дифференцируемых функциях
Теорема Ферма. Если функция , определенная на , принимает в некоторой точке наибольшее или наименьшее значение и существует , то = 0.
Замечание. Геометрический смысл теоремы заключается в том, что внутри интервала в точке наибольшего или наименьшего значения касательная к графику функции в точке (,) параллельна оси .
Теорема Ролля. Если функция непрерывна на , дифференцируема на и =0, то существует такая точка , что =0.
Замечание. Геометрически теорему Ролля можно пояснить так: у функции , удовлетворяющей условиям теоремы, всегда существует внутренняя точка интервала , в которой касательная к графику функции параллельна оси .
Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на и дифференцируема на , то существует такая точка , что .
Замечание. Поясним геометрический смысл теоремы. У функции , удовлетворяющей условиям теоремы, всегда существует такая точка , что касательная к графику функции в точке (,) параллельна хорде, соединяющей концевые точки графика.
Теорема Коши. Если функции и непрерывны на и дифференцируемы на и , то существует такая точка , что .
Замечания: 1. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши, когда ;
2. Приведенные теоремы носят, в основном, теоретический характер и будут использоваться далее при доказательстве других утверждений.