- •Математика:
- •Текст печатается в авторской редакции Содержание
- •Предисловие
- •Методические рекомендации
- •Шкала оценок, правила вычисления рейтинга и возможности его повышения
- •Модульhо-рейтиhговая структура курса "математика”
- •Модульно-рейтинговая структура, график контроля в 1 семестре (корректируется для каждой специальности)
- •Модуль 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •1. Производная функции
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •1.2. Геометрический смысл производной
- •1.3. Геометрические приложения производной
- •1.4. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Правила дифференцирования
- •1.5. Таблица производных основных элементарных функций
- •1.6. Производная обратной и сложной функций
- •1.7. Производные высших порядков
- •1.8. Логарифмическое дифференцирование
- •1.9. Дифференцирование неявных функций
- •1.10. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •1.11. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •Свойства дифференциала
- •2.2 Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •2.3. Теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.4. Правило Лопиталя
- •2.5. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •3. Исследование поведения функций и построение графиков
- •3.1. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции
- •3.2. Признаки существования экстремумов функции
- •Достаточные условия существования экстремума
- •Правило нахождения экстремумов функции
- •3.3. Асимптоты графика функции
- •Правило нахождения точек перегиба функции
- •3.5. Общая схема исследования функций и построения графиков
- •I. Исследование с помощью элементарной математики
- •II. Исследование с помощью теории пределов
- •III. Исследование с помощью производной
- •IV. Нахождение дополнительных точек, уточняющих график
- •V. Построение графика функции
- •I. Исследование с помощью элементарной математики
- •II. Исследование с помощью теории пределов
- •3.7. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •Найти производную неявно заданной функции
- •3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
- •4. Найти второй дифференциал d2y функции
- •5. Вычислить предел , используя правило Лопиталя
- •6. Исследовать функцию и построить график
- •Решение типового варианта
- •Тестовое задание к модулю 3 "Дифференциальное исчисление функции одной переменной”
- •Образец текущего контроля к модулю 3
- •Теоретические вопросы
- •Рекомендуемая литература Основная литература
- •Дополнительная литература
1.9. Дифференцирование неявных функций
Определение. Функция называется неявной функцией от , если она задана уравнением вида , не разрешенным относительно .
Для нахождения производной нужно продифференцировать по обе части равенства , учитывая, что есть сложная функция от . Затем разрешить полученное равенство относительно искомой производной , которая, как правило, будет зависеть от и , т.е., .
Пример 1. Найти уравнение касательной к окружности в точке , если центр находится в начале координат .
Решение. Уравнение окружности является неявной функцией. Найдем производную этой функции:
Þ .
Уравнение касательной имеет вид: =.
В точке : .
Пример 2. Найти производную функции , заданной уравнением .
Решение. Логарифмируем обе части уравнения, а затем дифференцируем, считая сложной функцией от .
Так как сложная функция, то по правилу дифференцирования сложной функции имеем:
Замечание. Для нахождения второй производной неявной функции нужно продифференцировать найденную первую производную еще раз по , продолжая считать функцию , зависящей от . В выражение второй производной при этом войдут , и , но, так как известно, то, подставляя его в , найдем окончательное значение , зависящее только от и . Аналогично поступаем при нахождении и т.д.
Пример 3. Пусть (см. пример 1). Найти .
==.
1.10. Дифференцирование функций, заданных параметрически
Определение. Уравнения вида , гдепараметр, называютсяпараметрическими уравнениями.
Теорема. Если и дифференцируемы по и , то функция дифференцируема по и
(1)
Полученная производная является функцией от параметра .
Применяя вторично правило дифференцирования функции, заданной параметрически, получим:
. (2)
Аналогично поступаем при нахождении и т.д.
Пример 1. Найти первую и вторую производные функции .
Решение. . Используя формулу (1), имеем:
.
; . Подставляя в формулу (2) найденные производные, получаем:
1.11. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
I. Найти производные следующих функций:
1. 2. 3.
4. 5.6.
7. 8.9.
10. 11.12.
13. 14.15.
16. 17.18.
19. 20.21.
22. 23.24.
25. 26.27.
28. 29.30.
II. Найти производные функций и вычислить их значения при :
1. 2.
3. 4.
5. 6.
III. Найти производные следующих сложных функций:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11. 12.
13. 14. 15.
16. 17. 18.
19. 20. 21.
22. 23.
IV. Найти производные высших порядков следующих функций:
1. ?; 2. ?;
3. ?; 4. ?;
5. ?; 6. ?.
V. Применив логарифмическое дифференцирование, найти производные следующих функций:
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
VI. Найти производные данных неявных функций:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
VII. Найти производные функций, заданных параметрически:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
2. Дифференциал функции. Свойства дифференцируемых функций
2.1. Дифференциал функции
Рассмотрим дифференцируемую в точке функцию . Из существования производной = следует, что , где – бесконечно малая функция при ®0, т.е. =0. Тогда полное приращение функции в точке равно .
Определение. Главная, линейная относительно , часть полного приращения функции называется дифференциалом функции в точке и обозначается символом . Для функции . Откуда и, следовательно, дифференциал функции .
Пример 1. Найти дифференциал функции
Решение.
Пример 2. Найти дифференциал функции
Решение.
Пример 3. Найти дифференциал функции в точке .
Решение. ,
.
Выясним геометрический смысл дифференциала.
Рис. 2.
На рис. 2 , – касательная с угловым коэффициентом . Из прямоугольного треугольника следует равенство: . Таким образом, дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .
Теорема. (Инвариантность формы дифференциала). Дифференциал сложной функции , у которой , имеет такой же вид , как и в том случае, когда аргумент является независимой переменной.