6. Исследовать функцию и построить график

В1. В2.

В3. В4.

В5. В6.

В7. В8.

В9. В10.

В11. В12.

В13. В14.

В15. В16.

В17. В18.

В19. В20.

7. Дана функция затрат на производство единиц продукции: Средние затраты на выпуск единицы,>0. Построить график функции средних затрат. Оценить количество продукции, минимизирующее средние затраты.

В1. ,х>0. В2. ,х>0.

В3. , х>0. В4. ,х>.,

В5. ,х>0, В6. ,х>0.

В7. ,х>0. В8. ,х>0.

В9. ,х>0. В10. ,х>0.

В11. ,х>0. В12. ,х>0.

В13. , х>0. В14. ,х>0.

В15. ,х>0. В16. ,х>0.

В17. ,х>0. В18. ,х>0.

В19. ,х>0. В20. ,х>0.

Решение типового варианта

1. Найти производные первого порядка для следующих функций:

1) .

2) .

Решения.

1).

.

2) Используем логарифмическую производную:

,

.

2. Найти производную неявно заданной функции

.

Решение. Производную неявно заданной функции находим почленным дифференцированием левой и правой частей равенства, после чего выражаем искомую производную.

. ..

3. Написать уравнения касательной и нормали к кривойв точке х=1.

Решение.

Найдем ее производную

,

В точке х=1 .

Значит, угловой коэффициент касательной равен , а уравнение касательной в точке имеет вид:

,

Угловой коэффициент нормали равен -, а уравнение нормали в точке имеет вид:

.

4. Найти второй дифференциал d²y функции

Решение.

5. Вычислить пределы по правилу Лопиталя.

1) . 2).

Решения.

1)

.

2) .

.

.

Задания 6 и 7 на исследование функций разобраны в п. 3.5.5.

Тестовое задание к модулю 3 "Дифференциальное исчисление функции одной переменной”

М-3, ТЗ - 3.1

М – Модуль

ТЗ – Тестовое задание

1. Производная функции имеет вид:

1)

2)

3)

4)

2. Производная функции f(x)=xCos(x+3)+7 равна

1) Sin(x+3)

2) xSin(x+3)+7

3) Sin(x+3)-xCos(x+3)

4) Cos(x+3)-xSin(x+3)

3. Производная функции равна

1) 7Сos²(x-10)

2) 14Sin(x-10)

3) 7Сos²(x-10)Sin(x-10)

4) 14 sin(x-10)Cos(x-10)

4. Значение первой производной функции в точкеравно

1) 2

2) 0

3) -2

4) -3

5. Достаточным условием убывания функции у(х) на интервале (a, b) является

1) y’0 на интервале (a, b)

2) y’’>0 на интервале (a, b)

3) y’<0 на интервале (a, b)

4) y’’<0 на интервале (a, b)

6. Достаточным условием выпуклости функции у(х) на интервале (a, b) является

1) y’0 на интервале (a, b)

2) y’’>0 на интервале (a, b)

3) y’<0 на интервале (a, b)

4) y’’<0 на интервале (a, b)

7. Необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции у(х) на интервале (a, b) является

1. y’’(x₀)0 на интервале (a, b)

2. y’’(x₀)>0 на интервале (a, b)

3. y’ (x0)=0 на интервале (a, b)

4. y’ (x₀)<0 на интервале (a, b)

8. Предел равен (x)

1)

2) -7

3) 7

4) 0

9. Вертикальная асимптота функции существует в точке:

1. -2

2. -1

3. 0

4. 1

5. 2

9. На рисунке изображен график производной функции y=f(x), заданной на отрезке [–1; 8].

Тогда точкой максимума этой функции является…

1) 3

2) 7

3) 1

4) 8