- •Математика:
- •Текст печатается в авторской редакции Содержание
- •Предисловие
- •Методические рекомендации
- •Шкала оценок, правила вычисления рейтинга и возможности его повышения
- •Модульhо-рейтиhговая структура курса "математика”
- •Модульно-рейтинговая структура, график контроля в 1 семестре (корректируется для каждой специальности)
- •Модуль 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •1. Производная функции
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •1.2. Геометрический смысл производной
- •1.3. Геометрические приложения производной
- •1.4. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Правила дифференцирования
- •1.5. Таблица производных основных элементарных функций
- •1.6. Производная обратной и сложной функций
- •1.7. Производные высших порядков
- •1.8. Логарифмическое дифференцирование
- •1.9. Дифференцирование неявных функций
- •1.10. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •1.11. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •Свойства дифференциала
- •2.2 Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •2.3. Теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.4. Правило Лопиталя
- •2.5. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •3. Исследование поведения функций и построение графиков
- •3.1. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции
- •3.2. Признаки существования экстремумов функции
- •Достаточные условия существования экстремума
- •Правило нахождения экстремумов функции
- •3.3. Асимптоты графика функции
- •Правило нахождения точек перегиба функции
- •3.5. Общая схема исследования функций и построения графиков
- •I. Исследование с помощью элементарной математики
- •II. Исследование с помощью теории пределов
- •III. Исследование с помощью производной
- •IV. Нахождение дополнительных точек, уточняющих график
- •V. Построение графика функции
- •I. Исследование с помощью элементарной математики
- •II. Исследование с помощью теории пределов
- •3.7. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •Найти производную неявно заданной функции
- •3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
- •4. Найти второй дифференциал d2y функции
- •5. Вычислить предел , используя правило Лопиталя
- •6. Исследовать функцию и построить график
- •Решение типового варианта
- •Тестовое задание к модулю 3 "Дифференциальное исчисление функции одной переменной”
- •Образец текущего контроля к модулю 3
- •Теоретические вопросы
- •Рекомендуемая литература Основная литература
- •Дополнительная литература
Модуль 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1. Производная функции
1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
1. Рассмотрим движение материальной точки по прямой в одном направлении по закону , гдевремя, апуть, пройденный за время. Отметим некоторый момент времении обозначим=(). Требуется определить скоростьв момент времени.
Рассмотрим другой момент времени . Ему соответствует путь. Тогда за промежуток времениточка прошла путь. Очевидно, что средняя скорость движения за времяравна/. Тогда скоростью в данный момент времени назовем предел средней скорости при®0, т.е.
.
2. Пусть дан тонкий прямолинейный неоднородный стержень длины . Определим плотность стержня в любой точке. Обозначим черезмассу отрезка стержня между точками с координатами 0 и. Тогда- функция от, т.е.=(). Фиксируя точкуи переменную точку+, найдем среднюю плотность стержня на отрезке от точки до точки +как отношениеD/, гдеD(+). Плотностьюстержня в точкеявляется пределом средней плотности при®0, т.е.
.
Рассмотренные выше и многие другие задачи приводят нас к нахождению пределов одного типа. Абстрагируясь от конкретного содержания задачи, приведем определение.
Определение. Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения функциив этой точке к вызвавшему его приращению аргументапри произвольном стремлениик нулю.
Для обозначения производной используют символы . Из определения следует, что.
Пример. Пусть задана функция и точка . Найти.
Решение. .; =6.
В задаче о движении точки , т.е. скорость движения материальной точки, есть производная путипо времени, а в задаче о плотности стержня.
1.2. Геометрический смысл производной
Рассмотрим график непрерывной функции и точкуна нем (pис.1). Проведем через точку и некоторую точку , лежащую на графике, секущую.
Рис. 1
Из свойств прямоугольного треугольника следует, что угловой коэффициент этой секущей, где– угол секущей с осью. Прив силу непрерывности функцииее приращение. Поэтому точка, двигаясь по графику, приближается к точке, а секущая стремится занять свое предельное положение, называемое касательной прямой. При этом, где– угол образованный касательной с осьюи, значит,. Откуда следует, что.
Итак, значение производной функции в точкеравно угловому коэффициенту касательной к графику этой функции в точке с абсциссой.
В этом заключается геометрический смысл производной.
1.3. Геометрические приложения производной
1. Зная геометрический смысл производной, мы можем записать уравнение касательной к графику функций в точке:
×
2. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной называетсянормалью к графику функции в этой точке. Ее уравнение, очевидно, имеет вид:
.
3. Углом j между кривыми и в их общей точке пересечения называется угол между касательными к этим кривым в точке и, значит, находится из формулы:
.
Пример. В какой точке кривойкасательная перпендикулярна к прямой? Записать ее уравнение.
Решение. . Угловой коэффициент прямой равен. Значит, угловой коэффициент касательной равен. С другой стороны, в точкеон равен=. Откуда,,, а уравнение касательной в точкеимеет вид: .
1.4. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Правила дифференцирования
Определение. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.
Определение. Функция, имеющая в некоторой точке конечную производную, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке некоторого интервала, называется дифференцируемой на этом интервале.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то она и непрерывна в этой точке.
Теорема. Если функции идифференцируемы в точкеи, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (последнее, при условии, что) также дифференцируемы в этой точке. При этом имеют место следующие правила дифференцирования:
1. 2.3.
4. 5.6.
Теорема. Производная постоянной функции равна нулю, то есть, если с – постоянная функция, то .