- •Математика:
- •Текст печатается в авторской редакции Содержание
- •Предисловие
- •Методические рекомендации
- •Шкала оценок, правила вычисления рейтинга и возможности его повышения
- •Модульhо-рейтиhговая структура курса "математика”
- •Модульно-рейтинговая структура, график контроля в 1 семестре (корректируется для каждой специальности)
- •Модуль 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •1. Производная функции
- •1.1. Задачи, приводящие к понятию производной
- •1.2. Геометрический смысл производной
- •1.3. Геометрические приложения производной
- •1.4. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Правила дифференцирования
- •1.5. Таблица производных основных элементарных функций
- •1.6. Производная обратной и сложной функций
- •1.7. Производные высших порядков
- •1.8. Логарифмическое дифференцирование
- •1.9. Дифференцирование неявных функций
- •1.10. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •1.11. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •Свойства дифференциала
- •2.2 Применение дифференциала в приближенных вычислениях
- •2.3. Теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.4. Правило Лопиталя
- •2.5. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •3. Исследование поведения функций и построение графиков
- •3.1. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции
- •3.2. Признаки существования экстремумов функции
- •Достаточные условия существования экстремума
- •Правило нахождения экстремумов функции
- •3.3. Асимптоты графика функции
- •Правило нахождения точек перегиба функции
- •3.5. Общая схема исследования функций и построения графиков
- •I. Исследование с помощью элементарной математики
- •II. Исследование с помощью теории пределов
- •III. Исследование с помощью производной
- •IV. Нахождение дополнительных точек, уточняющих график
- •V. Построение графика функции
- •I. Исследование с помощью элементарной математики
- •II. Исследование с помощью теории пределов
- •3.7. Аудиторные задания и задания на повышение рейтинга
- •Найти производную неявно заданной функции
- •3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
- •4. Найти второй дифференциал d2y функции
- •5. Вычислить предел , используя правило Лопиталя
- •6. Исследовать функцию и построить график
- •Решение типового варианта
- •Тестовое задание к модулю 3 "Дифференциальное исчисление функции одной переменной”
- •Образец текущего контроля к модулю 3
- •Теоретические вопросы
- •Рекомендуемая литература Основная литература
- •Дополнительная литература
Правило нахождения точек перегиба функции
Найти и .
Определить точки подозрительные на перегиб. Для этого нужно решить уравнение = 0 и найти точки, в которых не существует, т.е. найти критические точки второго рода.
Исследовать знак в окрестности критических точек и сделать вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.
Вычислить значения функции в точках перегиба, если они имеются.
Пример 1. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба функции .
Решение.
1. Исследование проводится аналогично исследованию (см. п.3.2) на существование точек экстремума. Имеем, . Найдем вторую производную
2. Найдем точки, в которых выполнено необходимое условие существования точек перегиба.
= 0 Û = 0, откуда = 0.
не существует при условии = 0, откуда находим . Следовательно, = 0 и точки подозрительные на перегиб.
3. Исследуем знак в окрестности этих точек.
Удобно при исследовании использовать таблицу:
Таблица 2
-
0
(0,1)
1
0
+
не сущ.
+
Ç
0
È
не сущ.
È
перегиб
Знаки " + " и " " означают положительность и отрицательность второй производной на соответствующем интервале. Дуги Ç и È означают выпуклость вверх (выпуклость) и вниз (вогнутость) графика функции на соответствующем интервале. Итак, график исследуемой функции выпуклый вверх на интервале и выпуклый вниз на интервалах (0,1) и . Точка перегиба = 0.
4. .
3.5. Общая схема исследования функций и построения графиков
I. Исследование с помощью элементарной математики
1. Найти область определения функции ().
2. Найти область изменения функции ().
3. Проверить функцию на четность или нечетность (функция четная, если для , нечетная если , если не выполняется ни то, ни другое равенство, то функция общего вида, график четной функции симметричен относительно оси , нечетной – относительно начала координат).
4. Проверить функцию на периодичность (функция периодическая, если существует такое число , что для справедливо равенство , наименьшее из таких чисел называется периодом функции (обычно на периодичность исследуются только функции, содержащие тригонометрические функции. Алгебраические и другие функции периода не имеют)).
5. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
6. Определить интервалы знакопостоянства.
II. Исследование с помощью теории пределов
7. Исследовать функцию на непрерывность, установить характер точек разрыва. Найти вертикальные асимптоты.
8. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные или наклонные асимптоты.
III. Исследование с помощью производной
9. Найти интервалы монотонности функции и точки экстремума.
10. Найти интервалы выпуклости функции и точки перегиба.
IV. Нахождение дополнительных точек, уточняющих график
V. Построение графика функции
Построение графика проводится по следующей схеме:
а) строим декартову систему координат на плоскости;
б) выбираем масштаб, соответствующий вычисленным значениям;
в) наносим на график точки пересечения графика функции с осями координат;
г) проводим пунктирной линией вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты;
д) наносим на график точки экстремума и перегиба;
е) строим график функции, используя таблицы 1 и 2.
Пример 1. Провести полное исследование и построить график функции . (см. примеры п. 3.2 , п. 3.3 и п. 3.4).
Решение.