Математический анализ / Математический анализ учебник

v	¢S0	M0	u; v)	M(x; y
				)y
				u	u + ¢u
v + ¢v		¢u	D0			D
				M4
	¢v				M3	v + ¢v
			L0
v
				¢S M1 M2		v
o			u	L		x
		u + ¢u		o
(u

Рис. 5.9.

5.2.3. Замена переменных в двойном интеграле

Пусть в плоскости XOY дана область D, ограниченная линией L (рис. 5.9). Рассмотрим двойной интеграл по этой области

ZZ

f(x; y) dxdy:

D

Сделаем замену переменных:

(

x = '(u; v)

(5.1)

y = Ã(u; v);

где функции '(u; v), Ã(u; v) непрерывны и имеют непрерывные частные производные по u; v в некоторой области D0 переменных (u; v). Будем считать, что каждой паре значений (u; v) 2 D0 соответствует по формулам (5.1) единственная пара значений (x; y) 2 D, и наоборот. Т.е. каждой точке M(x; y) на плоскости XOY соответствует единственная точка M0(u; v) на плоскости UOV . Координаты u, v называются криволинейными координатами точки M. Таким образом, формулы (5.1) устанавливают взаимно-однозначное соответствие между точками областей D и D0.

В области D0 рассмотрим прямые u = const = c. По формулам (5.1) в плоскости XOY им соответствуют кривые

(

x = '(c; v) y = Ã(c; v):

171

Аналогично, прямым v = const = C в плоскости UOV соответствуют кри-

вые

(

x = '(u; c) y = Ã(u; c):

Область D0 этими прямыми разобьется на прямоугольники, соответственно, кривыми область D разобьется на криволинейные четырехугольники. Рассмотрим в плоскости UOV прямоугольник s0, ограниченный прямыми u = const, u + ¢u = const, v = const, v + ¢v = const, его площадь равна

¢s0 = ¢u¢v. Этому прямоугольнику соответствует криволинейная площадка s, ее площадь обозначим ¢s.

Каждому значению функции z = f(x; y) в области D соответствует значение этой функции z = F (u; v) = f('(u; v); Ã(u; v)) в области D0. Тогда

XX

f(x; y)¢s = F (u; v)¢s: (5.2)

Вычислим площадь ¢s криволинейного четырехугольника M1M2M3M4. Координаты его вершин будут следующими:

	>	M1(x1; y1) : x1 = '(u; v);				y1 = Ã(u; v)
	<		(x2	; y2) : x2	= '(u + ¢u; v);	y2	= Ã(u + ¢u; v)
	8M2							(5.3)
	>		(x4	; y4) : x4	= '(u; v + ¢v);	y4	= Ã(u; v + ¢v):
	>M4
	>M3		(x3	; y3) : x3	= '(u + ¢u; v + ¢v); y3		= Ã(u + ¢u; v + ¢v)
	>
	>
В	:
	выражениях (5.3) заменим приращение функций соответствующими

дифференциалами, пренебрегая бесконечно малыми более высокого порядка, чем ¢u и ¢v. Получим

8M1(x1; y1) : x1 = '(u; v);

@'

y1 = Ã(u; v)

@Ã

>

>

>

>

>M3

(x3

; y3) : x3

= '(u; v) + ¢u + ¢v; y3

= Ã(u; v) + ¢u + ¢v

>M2

(x2

; y2) : x2

= '(u; v) +

@u

¢u;

y2

= Ã(u; v) +

@u

¢u

>

>

@'

@'

@Ã

@Ã

>

@u

@v

@u

@v

<

>

>

@'¢v;

y = Ã(u; v) + @Ã ¢v:

>M (x ; y ) : x = '(u; v) +

>

:

> 4

4

4 4

@v

4

@v

>

(5.4)

>

Площадь ¢s криволинейного четырехугольника приближенно равна площади параллелограмма с вершинами M1M2M3M4, которая равна модулю векторного произведения векторов M1M2 и M1M4, т.е.

¢s		¯					¯
			M	; M		M		:
							]
	¼	¯[M11722		1		4	¯

¯

¹¯ ¯ k¯¯¯¯ ¯¯¯¯@'

0¯¯ ¯¯¹¯¯¯¯@u ¢u

¯¯¯¯¯= k ¯¯¯¯¯@'¢v

0¯ @v

Из формул (5.4) найдем вектор										¢u ¡ Ã(u; v)´; 0o=
	M1M2	= n³'(u; v) + @u ¢u ¡ '(u; v)´; ³Ã(u; v) + @u
		@'		= n@u ¢u;			@Ã
							@u ¢u; 0o;
		@'					@Ã
аналогично найдем вектор
		M1M4 = n @v ¢v; @v ¢v; 0o:
				@'			@Ã

Тогда		¯
				@'¹i¢u
	¼	¯¯
		¯¯	@'				¢v
¢s		¯¯		@u
		¯
		¯¯		@v
		¯¯
		¯
		¯	¯		@'
	=					@u
			¯¯		@'
			¯¯			@v
			¯¯
			¯¯
			¯¯¯

¹

j

@Ã				¢u
	@u
@Ã				¢v
	@v
		¯				¯
@u					¢u¢v =		@u
@Ã		¯¯				¯¯	@Ã
@Ã		¯¯				¯¯	@'
@v		¯¯				¯¯	@u
		¯¯				¯¯
		¯¯				¯¯
		¯				¯

¯

@à ¯¯¯¯

@u ¢u¯¯¯¯=

@Ã@v ¢v¯¯¯

¯

@' ¯¯¯¯

@Ã@v ¯¯¯¯¯¯¢u¢v: @v ¯

Определение 5.2.1. Обозначим								¯
		¯@Ã				@Ã
			@'			@'
		¯	@u				@v	¯
		¯						¯
	I =	¯	@u				@v	¯
		¯						¯
		¯						¯
определитель Якоби функций '(u;¯				v)	и		Ã(	u;¯	v) или якобиан перехода от
переменных (x; y) к переменным (u; v).
Подставляя ¢s ¼ ¯I¯¢s0 в равенство (5.2), получим
X		¼ X							¯ ¯
	¯ ¯f(x; y)¢s					F (u; v) I ¢s0:
Переходя к пределу в последнем равенстве, получим¯ ¯											формулу замены пе-
ременных в двойном интеграле:							F (u; v)¯I			¯dudv:
ZZ	f(x; y) dxdy = ZZ
D				D0					¯	¯

173

y' = ¯

½ = ©2(')

' = ®

½ = ©1(')

*o x

Рис. 5.10.

5.2.4. Двойной интеграл в полярной системе координат

Рассмотрим двойной интеграл в декартовой системе координат

ZZ

f(x; y) dxdy:

D

Перейдем в этом интеграле в полярную систему координат

½x = ½ cos ' y = ½ sin ':

Будем предполагать, что область D (рис. 5.10) при этой замене перейдет

в область D0, заданную лучами ' = ®, ' = ¯ и кривыми ½ = ©1('),

½ = ©2('), причем ©1(') 6 ©2(').

Вычислим якобиан перехода от декартовой системы координат к по-

@x

@x

@y

лярной системе координат. Поскольку

= ¡½ sin ',

= cos ',

=

@'

@½

@'

½ cos ',

@y

= sin ', то

@½

¯

@x

@x

¯

¯

¯

@'

@½

I =

¯

@'

@½

¯

=

¡½ sin '

cos '

=

½ sin2 ' ½ cos2

'' = ½:

¯

@y

@y

¯

¯

½ cos '

¯

¡

¡

¡

¯

¯

¯

sin '¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

174

Поэтому jIj = ½. Таким образом, двойной интеграл в полярной системе координат будет иметь вид

ZZ	f(x; y) dxdy = ZZ	¯		©2(')
		F ('; ½)½ d½d' = Z	d'	Z	F ('; ½)½ d½:
D	D0	®	©1(')

Пример 5.2.3. Вычислить интеграл

ZZ

(x ¡ y + 1) dxdy;

D

где область D = f(x; y) : x2+y2 6 1g круг единичного радиуса. Перейдем

вполярную систему координат

½x = ½ cos ' y = ½ sin ':

Тогда граница круга будет задаваться уравнением

½2 cos2 ' + ½2 sin2 ' = 1

или ½ = 1. Внутри круга ½ будет изменяться от ½ = 0 до ½ = 1, а угол ' от

'= 0 до ' = 2¼. Поэтому

ZZ ZZ

(x ¡ y + 1) dxdy = (½ cos ' ¡ ½ sin ' + 1)½ d½d' =

D

D0

=

Z

d' Z

(½2

(cos ' ¡ sin ') + ½) d½ =

Z µ(cos ' ¡ sin ')3½3 +

2½2

¶¯0 d' =

2¼

1

2¼

1

1

1

¯

2¼

¯

0

0

0

¯

= Z µ

(cos ' ¡ sin ') +

¶d' =

(sin ' + cos ')

¯

+

'

¯

0 = ¼:

3

2

3

0

2

0

1

1

1

2¼

1

2¼

¯

¯

¯

¯

Пример 5.2.4. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой (x2 +

y2)2 =

= axy2, где a > 0 произвольное число. Перейдем в полярную систему координат, получим ½4 = a½3 cos ' sin2 '. Тогда фигура в полярной системе координат будет ограничена кривой ½ = a cos ' sin2 '. Эта фигура есть два лепестка в первой и четвертой четвертях (рис. 5.11). Поэтому мы вычислим площадь одного лепестка и умножим ее на два, пределы интегрирования по ' будут от ' = 0 до ' = ¼2 , а по ½ от ½ = 0 до ½ = a cos ' sin2 '. Тогда

175

¼	½ = a cos ' sin2 '
2

+0

Рис. 5.11.

S = ZZ

dxdy = ZZ

¼

d'

Z

2

½ d½ =

½ d½d' = 2 Z

2

a cos ' sin

'

D

D0

0

0

¼

a cos ' sin2

¼

2

1

¯

'

2

0

0

= 2 Z

2

¯

¼

d' = Z

a2 cos2 ' sin4 ' d' =

½2¯0

¯

2

1

1

= a2

Z0

sin2

2' ¢

(1 ¡ cos 2') d' =

4

2

= 16

¼

¼

sin2

2' d sin 2' =

Z0

(1 ¡ cos 4') d' ¡ 16

Z0

a2

2

a2

2

a2

¯

¼

a2

¯

¼

a2

¯

¼

a2

2

2

2

¯

¯

¯

= ¡

16

'¯0

¡

64

sin 4'¯0

¡

48

sin3

2'¯0 =

32

:

¯

¯

¯

5.3. Тройной интеграл

Пусть в пространстве R3 задана замкнутая область V , ограниченная поверхностью ¾. Пусть в области V определена непрерывная функция u = f(x; y; z). Построим интегральную сумму.

1.Разобьем область V на элементарные области Vj, j = 1; 2; : : : ; n.

2.Вычислим объем ¢vj подобластей Vj.

3.Выберем точки Pj(xj; yj; zj) в подобластях Vj.

176

4. Составим интегральную сумму

Xn

Vn = f(Pj)¢vj:

j=1

Обозначим dj диаметр подобласти Vj, т.е. ее наибольший линейный размер.

Определение 5.3.1. Если существует предел интегральных сумм

		n
lim Vn =		Xj
	lim	f(Pj)¢vj;
max dj!0	max dj!0	=1

не зависящий от способа разбиения области V и выбора точек Pj, то он называется тройным интегралом по области V от функции f(x; y; z) и

обозначается

ZZZ ZZZ

f(P ) dv = f(x; y; z) dxdydz =

VV

	n
	Xj
= lim	f(Pj)¢vj:
max dj!0	=1

Определение 5.3.2. Область V называется правильной относительно оси OZ, если:

1.всякая прямая, параллельная оси OZ пересекает границу ¾ области V только в двух точках;

2.область V проектируется на плоскость XOY в правильную область D.

Правильная область V (рис. 5.12) задается уравнениями

V = f(x; y; z) : Ã1(x; y) 6 z 6 Ã2(x; y)g;

причем область D, проекция области V на плоскость XOY , может задаваться одним из двух способов:

D = f(x; y) : a 6 x 6 b; '1(x) 6 y 6 '2(x)g либо

D = f(x; y) : '1(y) 6 x 6 '2(y); c 6 y 6 dg:

177

,z Ã2(x; y)

		V
			Ã1(x; y)
a	o		y
b	'1(x)	D	'2(x)
x

Рис. 5.12.

Определение 5.3.3. Выражения

b		'2(x) Ã2(x;y)
IV = Za	dx	Z	dy	Z	f(x; y; z) dz;
	'1(x)		Ã1(x;y)
d		'2(y)		Ã2(x;y)
IV = Z	dy	Z	dx	Z	f(x; y; z) dz

c'1(y) Ã1(x;y)

называются трехкратным интегралом от функции f(x; y; z) по области

V .

5.3.1. Свойства тройного интеграла

Теорема 5.3.1. Если область V разбить на две области V1 и V2, то тройной интеграл по области V равен сумме интегралов по областям V1 и V2.

Теорема 5.3.2 (Теорема об оценке). Если m и M наименьшее и наибольшее значения функции f(x; y; z) в области V , то выполняется неравенство ZZZ

mV 6 f(x; y; z) dxdydz 6 MV;

V

где V объем области V .

178

Теорема 5.3.3 (Теорема о среднем). Тройной интгерал от непрерывной функции f(x; y; z) по области V равен произведению объема V этой области на значение функции в некоторой точке P = (x0; y0; z0) области V , т.е. ZZ

f(x; y; z) dxdydz = f(P )V:

V

Замечание 5.3.1. Теоремы 5.3.1 5.3.3 справедливы и для трехкратного интеграла I.

Теорема 5.3.4. Тройной интеграл от функции f(x; y; z), непрерывной в правильной области V , равен трехкратному интегралу по этой области, т.е.

ZZZ	b		'2(x) Ã2(x;y)
	f(x; y; z) dxdydz = Za	dx	Z	dy	Z	f(x; y; z) dz
V		'1(x)		Ã1(x;y)
либо			'2(y)		Ã2(x;y)
ZZZ	d
	f(x; y; z) dxdydz = Zc	dy	Z	dx	Z	f(x; y; z) dz:
V		'1(y)		Ã1(x;y)

Доказательство. Рассмотрим трехкратный интеграл I. Разобьем область V на n правильных подобластей Vj, j = 1; 2; : : : ; n. По замечанию

5.3.1 и по теореме 5.3.1 интеграл I = Pn IVj , где IVj трехкратные инте-

j=1

гралы по областям Vj. По теореме 5.3.3 имеем IVj = f(Pj)¢Vj, где ¢Vj объем подобласти Vj, а Pj некоторая точка этой подобласти. Тогда

Xn

I = f(Pj)¢Vj:

j=1

Это есть интегральная сумма для тройного интеграла. Так как функция f(x; y; z) непрерывна в области V , то предел интегральных сумм существует, и поэтому тройной интеграл равен трехкратному.

Это основная теорема для вычисления тройного интеграла.

Замечание 5.3.2. Если f(x; y; z) ´ 1 в области V , то объем этой

области будет равен тройному интегралу, т.е.

ZZZ

V =

dxdydz:

V

179

Пример 5.3.1. Вычислить тройной интеграл от функции f(x; y; z) = xy по области V , задаваемой уравнениями x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1. Имеем

								ZZZV				xy dxdydz = Z0							dx		Z0				dy		Z0					xy dz =
																	1				1¡x						1¡x¡y
					= Z			dx		Z		xyz		0¡	¡		dy = Z				dx				Z		xy(1 ¡ x ¡ y) dy =
						1				1¡x			¯	1 x		y			1						1¡x
													¯
= Z						0			0				¯						0						0		¡ 2x2y2 ¡									3xy3							0¡
			dx		Z (xy ¡ x2y ¡ xy2) dy = Z0																	2xy2																							dx =
		1			1¡x														1	³		1						1								1				´¯¯			1	x
		0			0
= Z0	1		1						1						1												Z0	1			1			1						1		¯		1
		³		x(1¡x)2¡							x2(1¡x)2¡						(1¡x)3´dx =													³			x¡		x2+						x3¡					x4	´dx =
			2							2						3																6		2						2					6
			=		³	12x2 ¡ 6x3 +							8x4 ¡				30x5´¯¯0=								12		¡ 6				+ 8 ¡					30 =						120:
						1			1				1				1		¯		1				1			1			1					1							1

5.3.2. Замена переменных в тройном интеграле

Аналогично замене переменных в двойном интеграле можно вывести правило для замены переменных в тройном интеграле. Пусть дан тройной

интеграл в декартовой системе координат

ZZZ

f(x; y; z) dxdydz

V

и замена переменных

8

> x = '(u; v; t)

<

> y = Ã(u; v; t) :z = Â(u; v; t);

где функции '; Ã; Â взаимно-однозначно отображают область V 0 в криволинейных координатах u; v; t на область V в декартовых координатах

x; y; z. Тогда	ZZZ
ZZZ
f(x; y; z) dxdydz =	f(u; v; t)jIj dudvdt;
V	V 0

180